Para cualquier primo $p>3$ demuestre que $C_{np}^{p}-C_{np}^{2p}+C_{np}^{3p}-C_{np}^{4p}+...+(-1)^{n-1}C_{np}^{np} \equiv 1\pmod{p^3}$

Question

Sea $n$ sea un número entero positivo. Para cualquier primo $p>3$ demuestre que $$C_{np}^{p}-C_{np}^{2p}+C_{np}^{3p}-C_{np}^{4p}+...+(-1)^{n-1}C_{np}^{np} \equiv 1\pmod {p^3}$$ Dónde $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ . (*)

Lo intenté por la fuerza bruta, introduciendo (*) por todas partes y simplificando, pero no conseguí que diera el resultado deseado. Sería apreciado si alguien me mostrara algunos trucos para un mejor enfoque.

Answer 1

Según Congruencia binómica (véase también Papel de Bailey ) tenemos que para cualquier primo $p\geq 5$ , $$\dbinom{np}{kp}\equiv\binom{n}{k}\pmod {p^3}.$$ Por lo tanto $$\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom{np}{kp}\equiv-\sum_{k=1}^n (-1)^k\binom{n}{k}=-(1-1)^n+\binom{n}{0}=1\pmod {p^3}.$$