¿En qué sentido son elípticas las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

Question

A menudo leo que las propiedades de rigidez y suavidad de las funciones holomorfas pueden explicarse por el hecho de que las ecuaciones de Cauchy-Riemann son elípticas. ¿En qué sentido es eso cierto?

Obviamente no son elípticas en el sentido de la definición de Wikipedia o la de Lecture notes de Ambrosio, ambas restringidas a EDP de segundo orden. También existe una definición de hipoelipticidad que se basa simplemente en la suavidad de las soluciones. Esa definición difícilmente sería útil para entender cómo la elipticidad explica las propiedades de suavidad de las funciones holomorfas.

Queda la definición de ecuaciones elípticas como aquellas con símbolo principal definido. Sin embargo, no creo que las ecuaciones de CR puedan clasificarse razonablemente como elípticas según esta definición. Por supuesto podemos decir que el símbolo del operador de Cauchy-Riemann $\partial_x+i\partial_y$ es $x+iy$ para $x,y\in \mathbb{R}$ . Si es así, ya tengo mi respuesta, porque la última expresión es definitiva. Sin embargo, me parece que esto sería hacer trampa. Puesto que los diferenciales $\partial_x f$ y $\partial_y f$ que aparecen en las ecuaciones de Cauchy-Riemann son elementos de $\mathbb{C}$ las variables del símbolo probablemente también deberían serlo, y en ese caso $x+iy$ puede ser cero incluso para $x$ y $y$ . ¿Hay alguna ventaja en utilizar la otra forma del símbolo y deducir a partir de ahí las propiedades de las funciones holomorfas?

Answer 1

Supongamos que $f(z)$ es holomorfa y pasamos de pensar en $f$ como $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ a $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ vía: \begin{align*} z &= x + \mathrm{i} y \\ f(x,y) &= f(x+\mathrm{i}y) = f(z) \\ u(x,y) &= \Re(f(x,y)) \text{, and} \\ v(x,y) &= \Im(f(x,y)) \text{,} \\ \text{so } f(x,y) &= u(x,y) + \mathrm{i}v(x,y) \text{.} \end{align*} Entonces las ecuaciones C-R son $u_x = v_y, u_y = -v_x$ donde los subíndices denotan diferenciación parcial. Estas conducen al sistema de ecuaciones elípticas desacopladas \begin{align*} u_{xx} = -u_{yy} \\ v_{xx} = -v_{yy} \text{.} \end{align*} ... y es justo decir que esta propiedad de "silla en todas partes en cada componente" conduce a la rigidez.