Quiero demostrar que el siguiente conjunto es cerrado

Question

Deje $A\subseteq R$ ser un conjunto compacto y $B\subseteq R$ cerrado. A continuación, $S=\{b\sin a;b\in B,a\in A\}$ es cerrado.

Lo que he hecho es considerar la función continua $$f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ defined by $f(x,y)=x\pecado y.\;$ Then $\;S=f(B\veces).\;$ If $\,f\,$ is closed, then $\,S\,$ is closed. Is $\,f\,$ closed? ($\mathbb{R}$ es los números reales)

Gracias!

Answer 1

No estoy seguro de si mi ejemplo está mal, o la pregunta es incorrecta.

Considere la posibilidad de $B=\{1,2,3,4,\ldots\}$, $A=\{0\}\cup\{\sin^{-1} 1, \sin^{-1} (1/2), \sin^{-1} (1/3),\ldots\}$

Por ejemplo, $\sin^{-1} 1 \approx 1.5707, \sin^{-1} 1/2 \approx 0.5236, \sin^{-1} 1/3 \approx 0.3398$, etc.

$A$ es compacto, $B$ es cerrado, y $S = f(B\times A) =\{0\}\cup \mathbb{Q}^+$, la no-números racionales negativos, que no está cerrado.