Una "dimensión" para los espacios de Tychonoff

Question

Es bien sabido que cualquier espacio de Tychonoff $X$ puede incrustarse en $[0,1]^k$ para algún cardenal $k$ . Es natural preguntarse cuál es la menor de esas $k$ es (llamémoslo $k(X)$ ). Sin embargo, probablemente no merezca el nombre de dimensión, ya que no satisface algunas propiedades deseables. Por ejemplo, aunque $k(\text{point}) = 0$ tenemos $k(\text{2 points}) = 1$ . Esto me lleva a considerar una versión local:

Si $X$ es Tychonoff y $x \in X$ , dejemos que $D(X, x)$ sea el cardinal más pequeño $k$ tal que alguna vecindad de $x$ puede incrustarse en $[0,1]^k$ y que $D(X) = \sup_{x \in X} D(X, x)$ . Esto satisface algunas propiedades obvias:

• Si $\{U_\alpha\}$ es una cubierta abierta de $X$ entonces $\dim(X) = \sup D(U_\alpha)$ .
• Si $A$ es un subespacio de $X$ entonces $D(A) \le D(X)$ . La igualdad se cumple si, por ejemplo, $A$ contiene una vecindad de un punto $x$ con $D(X,x) = D(X)$ .
• $D(X) = n$ si $X$ es un $n$ -dimensional.
• $D(X \times Y) \le D(X) + D(Y)$ .

Esta última desigualdad puede ser estricta; por ejemplo, si $X$ es el conjunto de Cantor, entonces $D(X) = 1$ y $X \times X \cong X$ .

Si $\dim$ denota la dimensión de cobertura de Lebesgue, entonces para $X$ compacto, tenemos $\dim(X) \le \dim([0,1]^{D(X)}) = D(X)$ . No tengo ni idea de cuándo se mantiene la igualdad (lo haría si $\dim(X) = n$ implicaba que $X$ podría ser localmente integrado en $\mathbb{R}^n$ pero no sé si es cierto).

¿Existe un nombre para esto? $D$ o ¿se ha estudiado antes un invariante de este tipo? ¿Cómo se relaciona con otras nociones de dimensión de un espacio topológico? En particular, ¿existen clases de espacios agradables (por ejemplo, metrizables compactos) en los que coincidan?

Answer 1

Es un resultado clásico que un espacio metrizable separable $X$ puede incrustarse en $\mathbb{R}^{2n+1}$ donde $n=\dim X$ Así pues $D(X)\le2\dim X+1$ . Para los espacios universales de Menger y Nöbeling esto es óptimo y como son localmente homeomorfos a sí mismos encontramos que $D(X)=2\dim X+1$ es posible.

Answer 2

En el incontable, el menos cardinal $k$ tal que $X$ incrusta en $I^k$ es simplemente el peso del espacio $X$ es decir, el tamaño mínimo de una base de la topología. Una colección $\mathcal B$ es una base para una topología $\tau$ si $\mathbb B\subseteq\tau$ y cada conjunto en $\tau$ es la unión de los miembros de $\mathcal B$ .

A la luz del comentario de mathahada, es interesante observar que esta noción de dimensión tiene realmente sentido para los espacios de dimensión cero. En el caso de los espacios de dimensión cero, se podría considerar la posibilidad de incrustar en $2^k$ en lugar de $I^k$ Sin embargo. Ahora, los espacios de dimensión cero se llaman de dimensión cero por una razón, pero no creo que que dar $2^{k}$ dimensión $k$ es necesariamente patológico.

En cualquier caso, para los espacios que no se incrustan en $I^{\aleph_0}$ es decir, para espacios de peso incontable, has definido algo así como un peso local que no había visto antes. (No es que esto signifique nada).

---

Editar: Tenga en cuenta que en el caso compacto, este peso local es sólo el peso: para cada punto de elegir un barrio abierto de peso mínimo y cubrir todo el espacio por finitamente muchos de estos. Ahora el peso de todo el espacio es el máximo de los pesos de los finitamente muchos conjuntos abiertos. (Este argumento supone que se trata de espacios infinitos).