$\mathrm{Hom}$ -conjuntos en categorías con biproductos finitos tienen la estructura de un monoide conmutativo: una referencia para una prueba

Question

Parece que es un resultado popular que $\mathrm{Hom}$ -conjuntos en categorías con biproductos finitos (incluido el biproducto vacío) tienen la estructura de un monoide conmutativo. Conozco un resultado análogo para categorías abelianas del libro de Boceux, pero la prueba que allí se presenta no parece generalizable para este caso. ¿Alguien tiene una referencia? O, tal vez, si alguien conoce la prueba, ¿puede ayudar a proporcionarla?

La idea es que, para los morfismos $f,g\colon X\to Y$ Toma $f + g$ ser $(f, g)\circ \Delta$ o $\Delta\circ h$ donde $h\colon X\to Y\oplus Y$ es el morfismo inducido por la propiedad universal de un producto. Pero me cuesta entender los detalles.

Answer 1

Puede encontrar una prueba bastante detallada en la entrada de mi blog Una meditación sobre las categorías semiaditivas . El esquema es el siguiente

1. En cualquier categoría con coproductos finitos, cada objeto es única y por tanto canónicamente un monoide conmutativo con respecto al coproducto, con multiplicación dada por la codiagonal $\nabla : X + X \to X$ Por otra parte, en cualquier categoría con productos finitos, cada objeto es única y canónicamente un comonoide cocomutativo con respecto al producto, con la comultiplicación dada por la diagonal $\Delta : X \to X \times X$ y

2. En una categoría con biproductos finitos, los productos finitos y los coproductos finitos coinciden, por lo que cada objeto es única y, por tanto, canónicamente un monoide conmutativo con respecto al producto y esta estructura monoide conmutativa pasa a homsets.