Inversión de una matriz simétrica y definida positiva con o sin columna y fila

Question

Supongamos una matriz simétrica y definida positiva $\boldsymbol{\Sigma}$ y supongamos conocer su inversa $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ .

Sea $\boldsymbol{\Sigma}_{+}= \left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{\Sigma} & \mathbf{b} \\ \mathbf{b}^{T}& b_1 \\ \end{array}\right)$

et

$\boldsymbol{\Sigma}= \left( \begin{array}{cc} \boldsymbol{\Sigma}_{-} & \mathbf{c} \\ \mathbf{c}^{T}& c_1 \\ \end{array}\right)$

¿Cómo puedo encontrar $\boldsymbol{\Sigma}_{-}^{-1}$ y $\boldsymbol{\Sigma}_{+}^{-1}$ ?

Answer 1

Sea $d:=b_1-b^T\Sigma^{-1}b\neq 0$ . En fórmula de inversión de bloques da $$ \Sigma_+^{-1}=\pmatrix{\Sigma^{-1}+\frac{1}{d}\Sigma^{-1}bb^T\Sigma^{-1}&-\frac{1}{d}\Sigma^{-1}b\\-\frac{1}{d}b^T\Sigma^{-1}&\frac{1}{d}}. $$ Tenga en cuenta que $d\neq 0$ es la condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de $\Sigma_+$ . En realidad, si $\Sigma$ es SPD, $\Sigma_+$ también es SPD si $d>0$ .

Del mismo modo, podemos escribir $$ \Sigma^{-1}=\pmatrix{\Sigma_-^{-1}+\frac{1}{e}\Sigma_-^{-1}cc^T\Sigma_-^{-1}&-\frac{1}{e}\Sigma_-^{-1}c\\-\frac{1}{e}c^T\Sigma_-^{-1}&\frac{1}{e}}=:\pmatrix{X&x\\x^T&\xi}. $$ Desde $\Sigma$ es SPD, $e>0$ . Tenemos $$ \Sigma_-^{-1}=X-\frac{1}{e}\Sigma_-^{-1}cc^T\Sigma_-^{-1}=X-e\left(-\frac{1}{e}\Sigma_-^{-1}c\right)\left(-\frac{1}{e}\Sigma_-^{-1}c\right)^T=X-\frac{1}{\xi}xx^T. $$