En el pregunta anterior Se dan algunos contraejemplos que demuestran que no todos los espacios perfectamente normales son paracompactos. Gracias Henno. Tengo otra pregunta. Puede ser difícil:
¿Es todo espacio perfectamente normal submetrizable?
Un espacio topológico $X$ se denomina espacio perfectamente normal si $X$ es un espacio normal y todo subconjunto cerrado de $X$ es un $G_\delta$ -set.
Gracias por su ayuda.
No, el espacio de doble flecha de Alexandroff (o el intervalo de división ), es decir $[0,1] \times \{0,1\}$ ordenada lexicográficamente, en la topología de orden) es compacta Hausdorff (por tanto normal), hereditariamente Lindelöf (lo que equivale a que todos los conjuntos cerrados son $G_\delta$ para espacios compactos) pero no metrisable. Por lo tanto, no es submetrizable (tendría un $G_\delta$ diagonal en caso contrario, y un espacio (contablemente) compacto con un $G_\delta$ diagonal es metrisable).
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