Residuos $\frac{e^z}{z^3\sin(z)}$

Question

Quiero encontrar el residuo de $$\frac{e^z}{z^3\sin(z)}$$ y obtener $$ \frac 1 {3!} \lim_{z \to 0} \left( \frac{d^3}{dz^3} \left(\frac{ze^z}{\sin(z)} \right)\right) = \frac{1}{3}$$

¿Alguien puede confirmarlo? Intenté utilizar la serie de Laurent, pero no sabía cómo calcularla.

Oh, pude calcular la serie de Laurent y confirmar que era $\frac{1}{3}$

Pero no sé cómo cerrar esta pregunta.

Answer 1

Cerca de cero, $$ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + O(z^4). $$ También, $$\sin{z}=z-\frac{1}{6}z^3 + O(z^5),$$ por lo que el denominador es $$ z^{-4} \left(1-\frac{1}{6}z^2+ O(z^4)\right)^{-1} = \frac{1}{z^4}\left( 1-\frac{z^2}{6} +O(z^4) \right), $$ utilizando el teorema del binomio.

De ahí que la serie de Laurent tenga parte principal $$ \frac{e^z}{z^3\sin{z}} = \frac{1}{z^4}\left( 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + O(z^4) \right)\left( 1+\frac{z^2}{6} +O(z^4) \right) \\ = \frac{1}{z^4} + \frac{1}{z^3} + \frac{2}{3z^2} + \frac{1}{3z} + O(1), $$ y el residuo es $1/3$ .

Answer 2

$$\begin{align}\frac{e^z}{z^3 \sin{z}} &= \frac1{z^4} \frac{\displaystyle 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots}{\displaystyle 1-\frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120}+\cdots} \\ &= \frac1{z^4} \left (1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots \right )\left [1-\left (-\frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120}+\cdots\right )+ \left (-\frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120}+\cdots\right )^2+\cdots\right ] \end{align}$$

Ahora, necesitamos arrancar el coeficiente de $1/z$ de lo anterior. A este efecto, deberías ser capaz de ver que no necesitamos el término cuadrado entre paréntesis en el lado derecho, ya que su primer término es $O(z^4)$ que anula el $1/z^4$ delante de todo.

Así, el residuo es simplemente

$$\frac16 + \frac16 = \frac13 $$