Convergencia de la expectativa condicional de una función

Question

Sea $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias, y $p(\cdot|y)$ sea la función de densidad de probabilidad de $X|Y=y$ y que $h(X,Y)$ sea una función de $X$ y $Y$ .

Pregunta: Supongamos que $p(x|y)$ es diferenciable en $y$ que $h(\cdot,\cdot)$ es continua y $|h(x,y)|\le B$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^2$ . ¿Tenemos lo siguiente? Si $y_n\to y$ t \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(h(X,Y)\mid Y = y_n) = \mathbb{E}(h(X,Y)\mid Y = y) \end{align*}

Mis pensamientos: Me gustaría escribir

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(h(X,Y)|Y = y_n) &= \lim_{n\to\infty}\int h(x,y_n)p(x|y_n) dx \\ &= \int \lim_{n\to\infty} h(x,y_n)p(x|y_n) dx \\ &= \int h(x,y)p(x|y) dx \\ &= \mathbb{E}(h(X,Y)|Y = y). \end{align*} Sin embargo para mover el límite en la integral quería utilizar el teorema de convergencia dominada, que no se aplica claramente porque $p(\cdot|y_n)$ puede no estar necesariamente acotada sobre $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ por una función integrable.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta a mi propia pregunta, me encantaría que alguien me lo confirmara. La prueba es la siguiente: \begin{align} |\mathbb{E}(h(X,Y)&|Y = y_n) - \mathbb{E}(h(X,Y)|Y = y)| \\ &\le \int |h(x,y_n)p(x|y_n) - h(x,y)p(x|y)|dx \\ &\le \int |h(x,y_n)|\times|p(x|y_n) - p(x|y)| dx \\ &+ \int |h(x,y_n) - h(x,y)|\times p(x|y) dx \end{align} Todas las funciones de las integrales son continuas en $y$ . La primera integral está limitada por $$ \int |h(x,y_n)|\times|p(x|y_n) - p(x|y)| dx \le B\int |p(x|y_n) - p(x|y)| dx, $$ que converge a cero por el lema de Scheffe aplicado a $p(x|y_n)\to p(x|y)$ . La función dentro de la segunda integral está limitada por $B\times p(x\mid y)$ para que la integral converja a cero por el teorema de convergencia dominada.