Integral de potencia con exponente complejo

Question

Sea $x$ sea un número real y $z \neq 0$ un número complejo, se puede demostrar lo siguiente utilizando la serie de Taylor de una potencia.

$$\int x^z = \frac{1}zx^{z-1}$$

¿Conoce alguna solución más elemental?

Answer 1

Sea $x^z=\exp(z\ln(x))$ . No es difícil ver que

$$\frac d{dx}\exp(z\ln(x))=\frac zx\exp(z\ln(x))=zx^{z-1}$$

que es la regla de la potencia. A la inversa, obtenemos la antiderivada:

$$\int x^z\ dx=\frac{x^{z+1}}{z+1}+c$$

Para el caso en que $z=-1$ la antiderivada puede tratarse mediante esta respuesta mía que sigue la regla de la potencia.

Answer 2

Esto no es más complicado que definir la derivada compleja como $$\lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$
Donde ambos $h$ y $z$ están en $\mathbb{C}$ . Ahora sólo observamos que $$\frac{d}{dz} \frac{x^{z+1}}{z+1} = x^z$$
y definimos la antiderivada compleja como el operador que invierte la diferenciación compleja.