Algo funciona pasando en $\mathbb Z[\sqrt{51}]$

Question

En $\mathbb Z[\sqrt{6}]$, fácilmente puedo encontrar ese $(-1)(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 2$$(3 - \sqrt{6})(3 + \sqrt{6}) = 3$. Parece extraño, pero que se comprueba.

Pero cuando me tratan de lo mismo para $3$ $17$ $\mathbb Z[\sqrt{51}]$ me parece a correr hacia una pared. Yo no puedo solucionar $x^2 - 51y^2 = \pm3$ en números enteros, ni $x^2 - 51y^2 = \pm17$. He tenido seis décadas en las que para llegar oxidados en la resolución de las ecuaciones en dos variables, así que tal vez me las he arreglado para pasar por alto soluciones para estos dos. O podría ser posible que $3$ $17$ son en realidad irreductible en este dominio?

Answer 1

EDIT: puede ser la mejor forma de dar las cuatro clases como $x^2 - 51 y^2,$ $3 x^2 - 17 y^2,$ $-x^2 + 51 y^2,$ $-3 x^2 + 17 y^2.$ de Hecho, es el centro de Dirichlet enfoque de la composición de la formas cuadráticas binarias es que una forma de $x^2 + AB y^2$ conduce a la forma $A x^2 + B y^2,$ que probablemente no sea equivalente a la original.

$$\begin{array}{l}\text{By the pricking of my thumb,}\cr \text{Something wicked 51.}\end{array}$$

ORIGINAL: $x^2 - 51 y^2$ does not represent $\pm 3$ or $\pm 17.$ Instead, $3 x^2 + 12 xy - 5 y^2$ represents both $3$ and $-17,$ the latter with $(x=-2,y=1).$ Oh, $x^2 - 51 y^2$ is $SL_2 \mathbb Z$ equivalent to $ x^2 + 14 xy - 2 y^2.$ The four classes of binary forms of the discriminant are below, these are combined into two ideals as forms 1,2 are combined, 3,4 are combined. In case of curiosity, see http://math.blogoverflow.com/2014/08/23/binary-quadratic-forms-over-the-rational-integers-and-class-numbers-of-quadratic-%EF%AC%81elds/ Oh, one simple theorem that can be used here: for binary forms of some discriminant (here $204$) that is not a square, any given prime is integrally represented by at most one form of that discriminant and its "opposite" class, should those be distinct, and the same comment applies to representing $-p.$ The principal form (represents $1$) is always equivalent to its opposite, and we can tell that the same applies to $3 x^2 + 12 xy - 5 y^2$ because $3$ divides $12,$ que es en realidad la definición de "ambiguo." Mismo de las formas numeradas 2,4.

204    factored   2^2 * 3 *  17

    1.             1          14          -2   cycle length             2
    2.            -1          14           2   cycle length             2
    3.             3          12          -5   cycle length             6
    4.            -3          12           5   cycle length             6

  form class number is   4

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus



=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

           1          14          -2   original form
 Primitively represented positive integers up to  100

           1 =  1 
          13 = 13
          21 = 3 * 7
          25 = 5^2
          30 = 2 * 3 * 5
          49 = 7^2
          70 = 2 * 5 * 7
          85 = 5 * 17
          93 = 3 * 31
          94 = 2 * 47


 Primitively represented positive integers up to  100

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

          -1          14           2   original form
 Primitively represented positive integers up to  100

           2 = 2
          15 = 3 * 5
          26 = 2 * 13
          35 = 5 * 7
          42 = 2 * 3 * 7
          47 = 47
          50 = 2 * 5^2
          51 = 3 * 17
          59 = 59
          83 = 83
          87 = 3 * 29
          98 = 2 * 7^2


 Primitively represented positive integers up to  100

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
           3          12          -5   original form
 Primitively represented positive integers up to  100

           3 = 3
           7 = 7
          10 = 2 * 5
          31 = 31
          34 = 2 * 17
          39 = 3 * 13
          58 = 2 * 29
          75 = 3 * 5^2
          79 = 79
          82 = 2 * 41
          91 = 7 * 13


 Primitively represented positive integers up to  100

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

          -3          12           5   original form
 Primitively represented positive integers up to  100

           5 = 5
           6 = 2 * 3
          14 = 2 * 7
          17 = 17
          29 = 29
          41 = 41
          62 = 2 * 31
          65 = 5 * 13
          78 = 2 * 3 * 13


 Primitively represented positive integers up to  100
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Answer 2

Tanto sus ecuaciones pueden ser transformados a $3u^2-17v^2=\pm1$ (debido a que uno de $x,y$ debe ser un múltiplo de $3$ resp. $17$). Entonces $$-u^2-v^2\equiv \pm1\pmod4 $$ es imposible con el signo más y $$v^2\equiv \pm1\pmod3 $$ es imposible con el signo de menos. Por lo tanto, no es ninguna solución.

Answer 3

Hay una diferencia fundamental entre el$\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$$\mathbb{Z}[\sqrt{51}]$: se trata de un único dominio de factorización, el otro no lo es. Tienes que aceptar que algunas de las herramientas que vienen en muy práctico en Ufd no son tan útiles en la no-Ufd.

Una de esas herramientas es el símbolo de Legendre. Dado distintos números primos $p, q, r \in \mathbb{Z}^+$ si $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$ es una única factorización de dominio, a continuación, $\left(\frac{pq}{r}\right)$ fiable indica si $r$ es reducible o irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$. También, tanto en $p$ $q$ está compuesto, porque de lo contrario tendrías $pq$ $(\sqrt{pq})^2$ como válidos los distintos factorizations de $pq$, contradiciendo ese $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$ es una única factorización de dominio.

Por supuesto, si $\left(\frac{pq}{r}\right) = -1$, $r$ es irreductible, independientemente de la clase de número de $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$. Pero si $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$ número de clase 2 o mayor, entonces un montón de expectativas se rompen. Puede suceder que $\left(\frac{pq}{r}\right) = 1$, y sin embargo $r$, no obstante, es irreductible, por ejemplo, $\left(\frac{51}{5}\right) = 1$, sin embargo, de 5 es irreductible.

Y también puede suceder en un no-UFD que $pq$ $(\sqrt{pq})^2$ son válidos distintos factorizations de $pq$. Este no es único a $\mathbb{Z}[\sqrt{51}]$. Que sucede con el 2 y el 5 $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$, 3 y 5 en $\mathbb{Z}[\sqrt{15}]$, el 2 y el 13 en $\mathbb{Z}[\sqrt{26}]$, etc. De hecho, yo estaría muy sorprendido si alguien me mostró un ejemplo de no-UFD $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$ en el que tanto $p$ $q$ son compuestos.