Sea R la región del disco $ x^2+y^2\leq1 $ en el primer cuadrante. Entonces el área del mayor círculo posible contenido en R

Question

Sea R la región del disco $ x^2+y^2\leq1 $ en el primer cuadrante. Entonces el área del mayor posible contenida en R es $\pi.(3-2\sqrt 2)$ .

Mi intento :

Si trazo una tangente del círculo $ x^2+y^2=1 $ en el punto $(1/\sqrt 2 , 1/\sqrt 2)$ . Entonces obtendremos un triángulo isósceles cuyos lados son la tangente , el eje X y el eje Y . Ahora el círculo inscrito en este triángulo será el más grande entre todos los círculos que se encuentran completamente en el triángulo. Así que el área de este círculo será el área requerida.

¿Alguien puede decirme si me he equivocado en algo?

Answer 1

Una estrategia para demostrar que éste es el óptimo sería la siguiente:

1. Supongamos que el centro del círculo está en la recta $x=y$ para cada punto de la recta calcula el área del círculo y demuestra que tu solución es el máximo

2. Supongamos que el óptimo no se encuentra en la recta $x=y$ entonces desplazar el centro hacia esta línea permitirá un mayor radio de círculo para encajar en la región. Por lo tanto, los puntos alejados de esta línea no son óptimos.