¿Probabilidad de que un alumno adivine una respuesta (para múltiples instancias independientes)?

Question

Hace poco leí esta pregunta: Probabilidad de que un alumno conozca la respuesta

Dicho al revés, si el alumno adivinara la respuesta, la probabilidad sería:

\begin{eqnarray*} A &=& \mbox{Student knows the correct answer} \\ C &=& \mbox{Student answered correctly.} \\ \end{eqnarray*} DADO: La probabilidad de que el alumno sepa la respuesta es 2/3

DADO: La probabilidad de que el alumno adivine una respuesta y acierte es 1/4

Encontrar $P(A^C \mid C)$ utilizando el teorema de Bayes: \begin{eqnarray*} P(A^C \mid C) &=& \dfrac{P(C \mid A^C )P(A^C )}{P(C \mid A)P(A) + P(C \mid A^c)P(A^c)} \\ && \\ &=& \dfrac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{1 \times \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}} \\ && \\ &=& \dfrac{1}{9} \end{eqnarray*}

Así que mi pregunta es, si el estudiante hizo un 2 º o $nth$ examen y tenía la misma pregunta, ¿cómo calcularías la probabilidad de que el alumno acertara la respuesta en ambos exámenes suponiendo que acertara la respuesta en ambas ocasiones?

Supongo que el alumno no conoce los resultados (ni siquiera recuerda la prueba anterior), por lo que básicamente está teniendo suerte haciendo la misma conjetura y acertando cada vez que hace la pregunta de la prueba. Entonces, puesto que cada prueba que se hace es independiente de la otra, ¿significa eso que todo puede tomarse esencialmente a la potencia de 2 para dos pruebas o a la potencia de 2 para dos pruebas? $nth$ energía para $n$ ¿número de pruebas realizadas?

\begin{eqnarray*} D &=& \mbox{Student knows the correct answer for n questions} \\ E &=& \mbox{Student answered correctly for n questions} \\ \end{eqnarray*} $$P(D)=P(A)^n ?$$ $$P(E)=P(C)^n ?$$

Entonces se podría seguir que la probabilidad de que el alumno esté adivinando la respuesta, después de haber presenciado que todas son correctas, se puede calcular como: $$P(D^C \mid E)=P(A^C \mid C)^n=(\dfrac{1}{9})^n$$

¿Verdad?

EDITAR: Ignorar $(D)$ y $(E)$ por ahora (si eso es útil) y hacer en términos de $(A)$ y $(C)$ para dos pruebas (o más). Aquí tienes una visualización útil:

Así que el círculo azul muestra la ruta de probabilidad que estoy tratando de averiguar.

Reformulando un poco mejor: ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno acierte la respuesta de 2 pruebas (o $n$ pruebas) después de presenciar el suceso C (que respondió correctamente)?

Answer 1

Por desgracia, no es tan sencillo. Tienes que volver a utilizar el Teorema de Bayes. En primer lugar, como todas las respuestas se hacen independientemente unas de otras, dado que el alumno está adivinando, la probabilidad de responder a todas las $n$ preguntas correctamente es $P(E \mid D^c) = \left(\frac{1}{4}\right)^n$ . Así que..,

\begin{eqnarray*} P(D^c \mid E) &=& \dfrac{P(E \mid D^c)P(D^c)}{P(E \mid D^c)P(D^c) + P(E \mid D)P(D)} \\ && \\ &=& \dfrac{\left(\frac{1}{4}\right)^n \times \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{4}\right)^n \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3}} \\ && \\ &=& \dfrac{1}{1 + 2\times 4^n}. \end{eqnarray*}