Demostrar que el anillo de funciones holomorfas sobre el disco unidad no es un anillo local

Question

Me piden que demuestre que el anillo de funciones holomorfas sobre el disco unitario $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1\}$ no es un anillo local.

Estoy bastante seguro de que no es una prueba difícil, y ya he trabajado un poco con este anillo, demostrando en particular que es un dominio integral, pero por alguna razón tengo problemas con este hecho en particular. Agradecería mucho cualquier pista.

Answer 1

Pista:

Demuestra que $\{f\mid f(1/2)=0\}$ y $\{f\mid f(-1/2)=0\}$ forman ideales maximales distintos.

Answer 2

También puede hacerlo sin tener que intentar producir ideales máximos. Un anillo $R$ es un local si y sólo si las no unidades $R-R^\times$ forman un ideal.

Tenga en cuenta que $z$ y $\frac{1}{2}-z$ no son unidades (la primera tiene un cero en $0$ y el segundo en $\frac{-1}{2}$ ). Pero, su suma es $\frac{1}{2}$ que evidentemente es una unidad.