Relación entre las superficies de un tetraedro infinitesimal

Question

Sea $d\sigma_1,d\sigma_2, d\sigma_3$ denotan las áreas de las caras perpendiculares a los ejes $x_1,x_2,x_3$ y que $d\sigma_n$ denota el área de la cara inclinada con normal exterior unitaria n . Mi libro dice que esta relación se mantiene:

$d\sigma_i = d\sigma_n \cos(\mathbf{n},x_i)= n_id\sigma_n \quad for (i=1,2,3)$

En el límite a medida que el tetraedro se encoge hasta el punto M. No entiendo cómo se deriva.

Answer 1

$d\sigma_1$ es la proyección ortogonal de $d\sigma$ en $x_2x_3$ por lo que el coeficiente de proporcionalidad debe ser el coseno del ángulo entre las normales. Este último es el producto punto

$$(n_n,n_y,n_z)\cdot(1,0,0).$$

Answer 2

$\let\a=\alpha \let\s=\sigma$ Has etiquetado correctamente "geometría" tu pregunta. Y no se necesitan límites ni infinitesimales son necesarios en la medida en que la superficie es plana. Considere $\s$ (finito, no infinitesimal) y $\s_1$ . Son triángulos que comparten una base. ¿Puedes ver cuál es el cociente de sus alturas?

Answer 3

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Creo que trabajando con una figura como la anterior se podrían obtener los resultados deseados. Y efectivamente, es válido para cantidades finitas y no necesariamente infinitesimales.

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Versión 3D

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EDITAR

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En la Figura-01 \begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\left(\rm n_1,n_2,n_3\right)\boldsymbol{=}\left(\cos \theta_1,\cos \theta_2,\cos \theta_3\right) \tag{01}\label{01} \end{equation} y \begin{equation} \sigma_{\rm n}\boldsymbol{\equiv} \left[\rm A_1A_2A_3\right]\boldsymbol{=} \left. \begin{cases} \frac12 \left(\rm A_1A_2\right)\left(\rm A_3B_3\right)\\ \frac12 \left(\rm A_2A_3\right)\left(\rm A_1B_1\right)\\ \frac12 \left(\rm A_3A_1\right)\left(\rm A_2B_2\right) \end{cases} \{\right} \tag{02}\label{02} \end{equation} así que \begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left. \begin{cases} \sigma_{1}\boldsymbol{\equiv} \left[\rm OA_2A_3\right]\boldsymbol{=}\frac12 \left(\rm A_2A_3\right)\left(\rm OB_1\right)\stackrel{\left(\rm OB_1\right)\boldsymbol{=}\left(\rm A_1B_1\right)\cos\theta_1}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}}\frac12 \left(\rm A_2A_3\right)\left(\rm A_1B_1\right)\cos\theta_1\boldsymbol{=}\rm n_1\sigma_{\rm n}\\ \sigma_{2}\boldsymbol{\equiv} \left[\rm OA_3A_1\right]\boldsymbol{=}\frac12 \left(\rm A_3A_1\right)\left(\rm OB_2\right)\stackrel{\left(\rm OB_2\right)\boldsymbol{=}\left(\rm A_2B_2\right)\cos\theta_2}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}}\frac12 \left(\rm A_3A_1\right)\left(\rm A_2B_2\right)\cos\theta_2\boldsymbol{=}\rm n_2\sigma_{\rm n}\\ \sigma_{3}\boldsymbol{\equiv} \left[\rm OA_1A_2\right]\boldsymbol{=}\frac12 \left(\rm A_1A_2\right)\left(\rm OB_3\right)\stackrel{\left(\rm OB_3\right)\boldsymbol{=}\left(\rm A_3B_3\right)\cos\theta_3}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!}}\frac12 \left(\rm A_1A_2\right)\left(\rm A_3B_3\right)\cos\theta_3\boldsymbol{=}\rm n_3\sigma_{\rm n} \end{cases} \{\right} \tag{03}\label{03} \end{equation}