El Calor Del Núcleo De La Propiedad

Question

Deje $\phi$ ser el Calor del Núcleo en $\mathbb{R}^n$, yo. e.

$$\phi (x,t)={(4\pi t)}^{-n/2}\exp\left( - \frac{\mid x \mid ^2}{4t}\right)$$

y deje $u$ satisfacer la ecuación del Calor. Demostrar que: $$\frac{d}{dt}\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi |Du|^2=-2\int\limits_{\mathbb{R}^n}(\Delta u)^2$$ Lo que he intentado:

Sabemos $\phi_{t}=\Delta\phi$. Obtenemos: $$\frac{d}{dt}\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi |Du|^2=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi_{t}\langle Du,Du\rangle+\int\limits_{\mathbb{R}^n}2\phi\langle Du_{t},Du\rangle$$ Entonces usted puede poner $u_{t}=\Delta u$ y aplicar la integración por partes para el segundo plazo. Pero no sé cómo deshacerse de $\phi$.

Answer 1

Hay un error tipográfico en la pregunta, la expresión correcta es

$$ \frac{d}{dt}\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi |\nabla u|^2=-2\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi(\Delta u)^2 $$