Simetría especular de la curva elíptica

Question

Estoy un poco inseguro acerca de la declaración de simetría especular para curvas elípticas; específicamente, cómo funciona la inversión de los módulos de Kähler y complejos. Tal vez debería decir desde el principio, la razón por la que he estado pensando en esto, es que estoy haciendo un cálculo que implica un toro con parámetro $\tau \in \mathbb{H}$ y mi respuesta en invariante bajo $\tau \to \tau+1$ pero pas $\tau \to -1/\tau$ . Así que estoy pensando que tal vez sólo estoy utilizando la estructura de Kähler, no la estructura compleja.

Por supuesto, la estructura compleja viene dada por $\tau \in \mathbb{H}/\rm{PSL}(2, \mathbb{Z})$ . Creo que para la estructura de Kähler, elegimos una clase $[\omega] \in H^{2}(X,\mathbb{C})$ que podemos parametrizar mediante el parámetro de Kähler

$$t=t_{1} + i \, t_{2},\ t=\frac{1}{2\pi i } \int_{X} [\omega]$$

Identificamos $t_{2}>0$ con el área del toroide. Así, a diferencia de la estructura compleja, las estructuras de Kähler relacionadas por $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ no son necesariamente idénticos, ¿verdad? Al fin y al cabo, uno tendrá poca superficie y el otro mucha.

Así que estoy confundido acerca de cómo actúa la simetría especular . Si la simetría especular es una misteriosa equivalencia del toro bajo el intercambio de los módulos complejos y de Kähler, ¿no implica eso que el espacio de estructuras de Kähler equivalentes es también $\mathbb{H}/\rm{PSL}(2, \mathbb{Z})$ . ¿Es correcto?

Gracias, señor.

Answer 1

Sé que esta pregunta es ya bastante antigua, pero creo que merece la pena poner la referencia. El lugar que querrás consultar es la sección 2 de la obra de Dijkgraaf Simetría especular y curvas elípticas . En resumen, las simetrías extra que se ven en los módulos complejos sugieren una simetría inesperada en las estructuras del modelo A de la curva elíptica espejo. Esto está relacionado con la predicción de que las series generadoras de invariantes de Gromov-Witten son algo así como formas modulares. Como señalas, no es una simetría que se vea en el nivel clásico comparando las áreas de las curvas elípticas.

Por supuesto, si estás usando algo que no es invariante bajo el grupo modular, entonces tienes algo que no sólo depende de la estructura compleja de tu curva elíptica, sino algo más.