Bola cerrada en $l_p$ también está cerrado en $l_q$

Question

Estoy intentando averiguar si una bola unitaria cerrada en $l_p$ también está cerrado en $l_q$ para $1 \le p < q < \infty $ . A primera vista parece fácil, pero me atasqué muy pronto. Supongo que hay una secuencia convergente (con respecto a $||.||_{q}$ ), pero no sabemos si es Cauchy con respecto a $||.||_{p}$ ya que $||x||_{p} \ge ||x||_{q}$ y no hay otras desigualdades agradables entre ellos. ¿Alguna pista, por favor?

Answer 1

Si $(x_k)$ es una secuencia de vectores en $\ell_q$ cada uno con $p$ -a lo sumo uno, que converge a $x$ en $\ell_q$ entonces $(x_k)$ converge a $x$ coordinadamente.

Para cada $k$ y $n$ , $\sum\limits_{i=1}^n |x_k(i)|^p\le 1$ . Fijar $n$ y que $k\rightarrow\infty$ para deducir que $\sum\limits_{i=1}^n |x(i)|^p\le1$ para cada $n$ .

Ahora dejemos que $n\rightarrow\infty$ .