Teorema de Silverman-Toeplitz es un resultado en teoría de la sumabilidad que describe cuándo un método de sumabilidad matricial es regular. Siendo regular significa que cualquier secuencia convergente se transforma en una secuencia que converge al mismo límite.
Este resultado puede consultarse en Wikipedia ( revisión actual ) y en muchos libros sobre este tema . Puesto que ha preguntado especialmente por el Análisis Funcional de Maddox, copiaré aquí la formulación de ese libro, aunque no es sustancialmente diferente de las formulaciones que se pueden encontrar en otros lugares. (De hecho, creo que la formulación dada en Wikipedia es un poco más clara - es menos pesada en símbolos y añade también descripciones informales).
... en el futuro consideraremos sólo transformaciones matriciales en espacios secuenciales $X$ en la forma $$A_n(x)=\sum a_{nk}x_k.$$ Por $B(X,Y)$ denotaremos el conjunto de todas las matrices $A$ qué mapa $X$ en $Y$ . Por $B(X,Y;P)$ denotamos aquel subconjunto de $B(X,Y)$ cuyos límites o importes conservado . Por ejemplo, $A\in(c,c;P)$ significa que $A_n(x)$ existe para cada $n$ siempre que $x\in c$ y que $A_n(x)\to l$ siempre que $x\to l$ .
A continuación presentamos algunos resultados básicos.
Teorema 3. (Silverman-Toeplitz) $A\in(c,c;P)$ sólo si
(i) $\sup_n \sum |a_{nk}| < \infty$
(ii) $a_{nk}\to 0$ ( $n\to\infty$ , $k$ fijo)
(iii) $\sum a_{nk}\to1$ ( $n\to\infty$ )
Si se consulta la Wikipedia, se puede decir brevemente lo siguiente: las columnas convergen a cero, las sumas de filas convergen a uno y las sumas absolutas de filas están acotadas.
En tu caso quieres comprobar si esto es cierto para la matriz $$b_{n,m}= \begin{cases} \frac{n^{(m)}-n^{(m+1)}}n, & m=0,1,2,\dots,h \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} $$ donde $n^{(m)}$ y $h$ se definen en el documento.
Sabemos que $n=n^{(0)}>n^{(1)}>n^{(2)}>\dots>n^{(h)}>n^{(h+1)}=0$ .
Lo que significa que siempre tenemos $b_{n,m}>0$ y así $$\sum_{m=0}^\infty |b_{n,m}| = \sum_{m=0}^\infty b_{n,m} = \frac{n^{(0)}}n = \frac{n}n=1.$$ De esto se deduce que (i) y (iii) se cumplen.
Sin embargo, tengo que admitir que no veo cómo conseguir que $$\lim\limits_{n\to\infty} b_{n,m} = 0$$ a partir de las condiciones dadas en el documento. A menos que me haya perdido algo, sólo sabemos que $p(n)<n$ y que $n^{(k+1)}=p(n^{(k)})$ (deteniéndose este proceso en cuanto obtengamos $n^{(h+1)}=0$ .)
Por ejemplo, para $m=0$ deberíamos tener $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n-p(n)}n.$$ No veo entre los supuestos del Teorema 2.2.7 nada sobre $p(n)$ lo que implica que este límite es cero. (Por supuesto, puede que me haya perdido algo.) Parece que necesitaríamos $\lim\limits_{n\to\infty} p(n)/n =1$ para llegar a la conclusión deseada.
