Suma general de $n$ las raíces de la unidad alzadas al poder $m$ comprime con $n$

Question

Estoy intentando encontrar una referencia para la siguiente proposición:

Sea $m$ y $n$ sean coprimos. Entonces, $$ \sum_{k=0}^{r-1} \exp\left( i \frac{2\pi}{n} k m \right) = 0 $$ sólo si $r$ es un múltiplo entero de $n$ .

¿Puede alguien indicar un libro de texto básico o material en línea en el que se demuestre este hecho básico?

Answer 1

Se puede demostrar fácilmente utilizando la suma geométrica. Obsérvese que $$ \sum_{k=0}^{r-1} \exp\left(i \frac{2\pi k m}{n} \right) = \sum_{k=0}^{r-1} \exp(2\pi i m/n)^k = \frac{1-\exp(2\pi i m/n)^r}{1-\exp(2\pi i m/n)} $$ La suma es $0$ sólo si $\exp(2\pi i m/n)^r = 1$ que corresponde a $n|rm$ .