Demostrar que $\operatorname{Trace}(A^2) \le 0$

Question

Sea $A \in M_n(\mathbb{R})$ es una matriz antisimétrica como $A^T=-A$ . Demostrar que $\operatorname{Trace}(A^2) \le 0 $

Veo que, para algunas matrices como, sus términos en diagonal son negativos ?

Answer 1

Empezar con la norma de Frobenius de A:

$$ \left\lVert A \right\rVert_F^2= \mathrm{Tr}(A^TA)=\mathrm{Tr}(-AA)=\mathrm{Tr}(-A^2)=-\mathrm{Tr}(A^2)\geq 0 \Leftrightarrow \mathrm{Tr}(A^2) \leq 0 $$