Demostrar que $\operatorname{Trace}(A^2) \le 0$

Question

Sea $A \in M_n(\mathbb{R})$ es una matriz antisimétrica como $A^T=-A$ . Demostrar que $\operatorname{Trace}(A^2) \le 0 $

Veo que, para algunas matrices como, sus términos en diagonal son negativos ?

Answer 1

Sin duda hay enfoques más sofisticados, pero cada elemento diagonal de $A^2$ se obtiene como $R_i\cdot C_i$ donde $R_i$ y $C_i$ son fila y columna $i$ de $A$ . Desde $A$ es antisimétrico se tiene $R_i=-C_i^T$ Así que $R_i\cdot C_i\leq0$ para cada $~i$ . Con todos los elementos diagonales de $A^2$ no positivo, su traza ciertamente también lo es.

Answer 2

Multiplica ambos lados de tu igualdad por $A$ se obtiene

$$AA^T=-A^2$$

pero entonces $AA^T$ es positiva definida, por lo que $-AA^T=A^2$ es semidefinida negativa, por lo que su traza es negativa.

Answer 3

Otro enfoque:

Sea $e_i, \; 1\leq i \leq n$ sea la base estándar de $\mathbb{R}^n$ (o cualquier base ortonormal), entonces

$$\text{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^n \langle A^2e_i, e_i \rangle = \sum_{i=1}^n \langle Ae_i, A^Te_i \rangle =-\sum_{i=1}^n \|Ae_i \|^2 \leq 0$$

Answer 4

Sin revelar demasiado: reescribir $A^2$ utilizando la igualdad que se ha dado. A continuación, fíjate en los elementos diagonales, ahora que has escrito el cuadrado de la matriz de una forma nueva.

Answer 5

Sea $\lambda$ sea un valor propio de $A$ . Utilizando el producto interior obtenemos $$\langle Av, Av\rangle=\langle \lambda v, \lambda v\rangle=\bar{\lambda} \lambda.$$ Por otra parte $$\langle Av, Av\rangle =\bar{\lambda}\langle Av, v\rangle= \bar{\lambda}\langle v, A^t v\rangle=\bar{\lambda}\langle v, -A v\rangle= -\bar{\lambda} \bar{\lambda}\langle v, v\rangle.$$ Por lo tanto $$\bar{\lambda} \lambda=-\bar{\lambda}\bar{\lambda}.$$ Ahora bien $\lambda=0$ o dividiendo por $\bar{\lambda}$ obtenemos $\lambda=-\bar{\lambda}$ . De cualquier manera obtenemos que todos los valores propios son con parte real cero y el resultado sigue.