Probabilidad de que ninguna persona saque un par de guantes

Question

Una pregunta de mi libro de texto de probabilidad:

Una caja contiene $10$ pares de guantes. A saca un solo guante, luego B saca uno, entonces A dibuja un segundo, luego B dibuja un segundo. Demuestre que la probabilidad de que ninguno saque un par es ${{290}\over{323}}$ .

Esto es lo que hice. Las posibles secuencias que funcionan aquí son RLRL, LLLL, RRRR, LRLR, y la probabilidad de obtenerlas es $${{2(10)(10)(9)(8) + 2(10)(9)(8)(7)}\over{20(19)(18)(17)}} = {{73}\over{323}},$$ que no es igual a la probabilidad dada en el libro. Entonces, ¿qué he hecho mal? ¿Es correcto el libro? ¿Hay algún significado alternativo de "ninguno de los dos saca un par" (esa es la frase exacta del libro) que yo desconozca?

Answer 1

Creo que la pregunta se refiere a que cada par de guantes es diferente. Así que dibujas un par cuando dibujas $R$ y $L$ del mismo par y no cualquier $R$ y $L$ .

En primer lugar $A$ dibuja cualquier guante. Entonces $B$ saca un solo guante -

i) $B$ extrae del mismo par que $A$ dibujado.

La probabilidad es $\frac{1}{19}$ y eso asegura que ninguno de ellos saque un par.

ii) $B$ no se extrae del mismo par.

La probabilidad es $\frac{18}{19}$ . Probabilidad de que ahora $A$ sorteos -

a) Del mismo par que $B$ es $\frac{1}{18}$ y eso asegura que ninguno de ellos saque un par.

b) No saca ni de la propia pareja ni de $B$ es $\frac{16}{18}$ . Por último $B$ no saca una pareja con probabilidad $\frac{16}{17}$ .

Por lo tanto, la probabilidad deseada es,

$\frac{1}{19} + \frac{18}{19} \left[\frac{1}{18} + \frac{16}{18} \cdot \frac{16}{17}\right] = \frac{290}{323}$

Answer 2

La inclusión/exclusión parece funcionar bien aquí. Supongo que los pares son diferentes.

Digamos que el evento que $A$ saca un par es $pair_A$ y el hecho de que $B$ saca un par es $pair_B$ .

Entonces $$P(pair_A) = P(pair_B) = \frac{10}{\binom{20}{2}} = \frac{1}{19}$$ y $$P(pair_A \cap pair_B) = \frac{\binom{10}{2}\cdot 2!}{\binom{20}{2} \binom{18}{2}} = \frac{1}{323}$$ Por inclusión/exclusión se entiende la probabilidad de que ninguno de los dos $A$ ni $B$ saca un par es $$1 - P(pair_A) - P(pair_B) + P(pair_A \cap pair_B) = \frac{290}{323}$$

Answer 3

Otra forma de verlo.
También podemos dejar que cada una saque su cuota completa de una sola vez.

Supongamos que el primer sorteo $\boxed{A|B}$ en $\binom{10}2\cdot2^2 = 180 $ vías

El siguiente puede dibujar $\boxed{A|B},\, \left[\boxed{A|X}\, \boxed{X|B}\right] \,or\; \boxed{X|Y}$

en $1 + \binom81 2^2 +\binom82 2^2= 145$ vías

Así $Pr = \dfrac{180*145}{\binom{20}2\binom{18}2} = \dfrac{290}{323}$