En mecánica clásica, es sencillo incluir fuerzas no conservativas. Para una partícula en 1D, la ecuación de Liouville se convierte en,
$$\partial_t \rho + \dot{q}\partial_q \rho + \dot{p}\partial_p \rho + \rho \partial_p Q=0,$$
donde $Q$ es la fuerza no conservativa.
En mecánica cuántica, el enfoque estándar parece ser inventar un "baño" que suministre las fuerzas al sistema que te interesa. ¿Existe un enfoque análogo para obtener fuerzas no conservativas como con los sistemas clásicos?
En mecánica cuántica, el enfoque estándar parece ser inventar un "baño" que suministre las fuerzas al sistema que te interesa.
Sí, este es el enfoque habitual.
¿Existe un planteamiento análogo al de los sistemas clásicos para obtener fuerzas no conservativas?
Sí, por supuesto.
Fundamentalmente, todo sistema cerrado es no disipativo. Sólo vemos una disipación aparente cuando observamos una parte del sistema completo. Por ejemplo, cuando un objeto que rueda por el suelo se detiene, parte de su energía cinética se ha transformado en calor y otras formas de energía a las que no prestamos atención.
Tanto las ecuaciones de movimiento clásicas como las cuánticas son fundamentalmente conservadoras. Sin embargo, en algunos casos en los que grados de libertad "extra" causan disipación en los grados de libertad que nos importan, es posible encontrar "ecuaciones de movimiento reducidas" que describen el movimiento de los grados de libertad que nos importan. Eso es lo que ocurre implícitamente en la ecuación
$$\partial_t \rho + \dot{q}\partial_q \rho + \dot{p}\partial_p \rho + \rho \partial_p Q=0$$
en el post original. En $\rho \partial_p Q$ representa el efecto global de las fuerzas del entorno/baño (o como quiera llamarse) sobre el grado de libertad principal representado por $q$ y $p$ .
Un ejemplo famoso de reducción explícita de la interacción entre los grados de libertad principales y los grados de libertad ambientales es el Caldeira-Leggett modelo. En este modelo, un sistema principal $S$ avec $q$ y $p$ está acoplado a un conjunto $E$ de osciladores armónicos. El sistema total $S$ acoplado a todos los osciladores en $E$ conserva la energía. Sin embargo, resulta que en el límite en que el número de osciladores en $E$ va al infinito, el movimiento de $S$ por sí sola puede representarse mediante una ecuación de movimiento disipativo similar a la citada anteriormente. En particular, $S$ experimenta una fuerza de amortiguación $F \propto -\dot{q}$ .
El modelo Caldeira-Leggett se escribe normalmente en términos de mecánica hamiltoniana. Por tanto, es totalmente clásico. Por supuesto, puede aplicarse en sistemas cuánticos en los que las ecuaciones de movimiento de Heisenberg coinciden con las ecuaciones de movimiento clásicas, por ejemplo, cuando $S$ es un oscilador amortiguado. Las cosas son un poco diferentes cuando $S$ es un sistema de dos niveles (es decir, un giro) porque el efecto de la amortiguación es un poco diferente.
Supongamos que enviamos un impulso eléctrico por una línea de transmisión de cierta longitud fija. El impulso recorre la línea, rebota en el extremo y vuelve a nosotros. La energía se conserva. Por supuesto, durante cierto tiempo, la energía está en la línea de transmisión, y si preguntáramos "¿Cuánta energía tenemos en nuestro extremo de la línea?", entonces la respuesta sería "cero" durante el tiempo que el pulso está viajando. Por supuesto, la energía acaba volviendo. Obsérvese que una línea de transmisión de longitud finita puede modelarse como un conjunto discreto e infinito de osciladores armónicos.
Supongamos ahora que la línea es infinitamente larga. La línea infinitamente larga puede modelarse como un conjunto continuamente infinito de osciladores armónicos. Enviamos el pulso, y nunca vuelve. Así que, desde nuestro punto de vista restringido, la energía se ha ido, y el conjunto continuamente infinito de osciladores actúa como una fuente de amortiguación que nunca devuelve la energía.
Ni siquiera estoy seguro de que esta pregunta tenga sentido. Las fuerzas no conservativas de la mecánica newtoniana son fenómenos macroscópicos que se deben a interacciones a nivel cuántico. Por ejemplo, las fuerzas de fricción son fundamentalmente interacciones entre los átomos de la superficie de fricción y los átomos del objeto que se desliza sobre ella. Cuando se llega al nivel cuántico, sólo hay partículas y fuerzas fundamentales entre ellas.
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