$\nabla^2 A$ ¿en términos de formas?

Question

¿Hay alguna forma de expresar $\nabla^2 A$ en términos de operaciones sobre $1$ -¿formas?

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Me gustaría ver si podemos escribir la identidad $$\nabla\times(\nabla\times A)= \nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A$$ en términos de formas en $\mathbb R^3$ .

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Sabemos que si construimos la 1-forma $$A=A_i\mathrm d x^i$$ entonces el dual de Hodge de su derivada exterior es la 1-forma con componentes $(\nabla\times A)_i$ : $$\star\mathrm d A=(\nabla\times A)_i\mathrm d x^i.$$

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Esto abre la posibilidad de escribir la fórmula anterior en términos de formas 1. Podemos escribir: $$\star\mathrm d \star\mathrm d A=(\nabla\times(\nabla\times A))_i\mathrm d x^i$$ y $$\mathrm d \star\mathrm d \star A=(\nabla\cdot(\nabla\cdot A))_i\mathrm d x^i$$ pero estoy perplejo con el último. La última debería ser una especie de derivada que nos llevara de 1 formas a 1 formas. Me he convencido de que cualquier operador de $1$ -forma a $1$ -formas construidas por composición $\star$ et $\mathrm d $ y que contiene exactamente 2 derivadas exteriores es $0$ o igual a $\star\mathrm d \star\mathrm d$ o $\mathrm d\star\mathrm d \star$ .

¿Por qué?

Answer 1

El operador de Laplace-de Rham (también llamado operador Laplaciano de Hodge ) se define por $\nabla^2 = d \delta + \delta d$ donde $\delta$ es el codiferencial operador: $$ \delta = (-1)^{n(k-1)+1} s \;\star \! d \star $$ donde $n$ es la dimensión del colector, $s$ es la firma de su métrica, y el operador actúa sobre un $k$ -forma. Para una forma única en Euclides $\mathbb{R}^3$ el signo global es $-1$ . Así que tenemos $$ \nabla^2 \mathbf{A} = -\left( d \! \star \! d \! \star \mathbf{A} + \star \,d \!\star \! d \,\mathbf{A} \right) $$

Nótese que el operador de Laplace-de Rham es en general diferente del operador de Laplace-Beltrami, siendo este último el que se obtendría escribiendo una métrica, una conexión, una derivada covariante, etc. Los dos operadores coinciden en las variedades planas, pero difieren en términos proporcionales a la curvatura en un colector curvo.