pruebe $GL(n,R)\cong O(n)\times R_{+}^n\times R^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Question

$GL(n,R)$ es el grupo lineal general , $O(n)$ es el grupo ortogonal,como demostrar $GL(n,R)\cong O(n)\times R_{+}^n\times R^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Answer 1

Según la descomposición de Iwasawa, cualquier elemento $T$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ puede escribirse de la forma $T=KAN$ donde $K\in O(n)$ , $A$ es una matriz diagonal con entradas positivas, y $N$ es unipotente (es decir, triangular superior con 1s en la diagonal). Entonces el espacio de matrices diagonales con entradas positivas puede identificarse con $\mathbb{R}_+^n$ y las matrices unipotentes con $\mathbb{R}^{\frac{n(n-1)}{2}}$ .