¿En qué categoría es la propiedad universal del Grupo Libre un diagrama?

Question

wikipedia dice que el grupo libre está definido por una propiedad universal:

El grupo libre $F_S$ es el grupo universal generado por el conjunto $S$ . Esto puede formalizarse mediante la siguiente propiedad universal: dada cualquier función $f$ de $S$ a un grupo $G$ existe un único homomorfismo $: F_S G$ haciendo que el siguiente diagrama sea conmutable (donde el mapeo sin nombre denota la inclusión desde $S$ en $F_S$ ):

Mi pregunta es, ¿en qué categoría se encuentra este diagrama? ¿Está en Grupo o Establecer ? De cualquier manera estoy confundido, porque $S$ no es un grupo, lo que sugiere que está en Establecer pero la unicidad de $\phi$ sólo se cumple para homomorfismos, no para funciones generales, lo que sugiere que esto está en Grupo .

Answer 1

Como tú dices, $S$ es un conjunto, por lo que se trata de un diagrama en $\text{Set}$ . El hecho de que forcemos $\varphi$ para ser un homomorfismo de grupos es una estructura extra que no es capturada por el diagrama solo.

Podríamos considerar esto insatisfactorio, así que como alternativa podemos nombrar explícitamente el functor olvidadizo $U : \text{Grp} \to \text{Set}$ de grupos a conjuntos, que se está aplicando implícitamente a $G$ aquí, y considerar $f$ como un morfismo $f : S \to U(G)$ en $\text{Set}$ a continuación, hablar de la propiedad universal en términos de la adjunto

$$\text{Hom}_{\text{Grp}}(F(S), G) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(G)).$$

Answer 2

Como menciona la definición, $f$ y las inclusiones sin nombre son sólo funciones mientras que $\varphi$ es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el diagrama no está en $\mathbf{Grp}$ ni realmente en $\mathbf{Set}$ (en el sentido de que el diagrama en $\mathbf{Set}$ no forzaría $\varphi$ sea un homomorfismo de grupo).

La construcción da, de hecho, un functor de $\mathbf{Set}$ a $\mathbf{Grp}$ asignando a cada conjunto $S$ el grupo libre $F_S$ y a cada función $g:S\to T$ el morfismo $\varphi_g:F_S \to F_T$ asociado al mapa $f=\iota_T\circ g:S\to F_T$ por la propiedad universal (donde $\iota_T:T\to F_T$ es la inclusión).

Answer 3

A menudo pienso en el grupo libre sobre $S$ para ser el objeto inicial en la categoría de grupos con $S$ puntos especificados o más formalmente la categoría de grupos $(G, *)$ junto con una función especificada de $S$ a $G$ donde los morfismos consisten en un homomorfismo de grupo que hace que las funciones de $S$ de acuerdo.

Esta definición capta lo que el diagrama intenta transmitir: está mostrando la inicialidad de $F_S$ donde el morfismo consiste en toda la cuña que sale de $S$ .

Como se ha dicho en otras respuestas, esta construcción da como resultado un functor de $\mathbf{Set}$ a $\mathbf{Grp}$ que es adjunto izquierdo del functor olvidadizo, pero no creo que este contexto (aunque fascinante, y apunta a muchas generalizaciones interesantes) sea necesario para entender el grupo libre.

Answer 4

Aunque las otras respuestas dicen cómo podría interpretarse tanto en ${\bf Set}$ o en ${\bf Grp}$ utilizando los functores adjuntos $U$ (implícitamente) o $F$ existe una tercera construcción que responde adecuadamente a esta pregunta:

Tomemos la unión disjunta de las categorías ${\bf Set}$ (dibújelo hacia la izquierda) y ${\bf Grp}$ (dibujar a la derecha), y para cualquier conjunto $S$ y grupo $G$ añada las funciones $S\to U(G)$ como (los llamados hetero -) morfismos $S\to G$ .
Todas las composiciones existentes son composiciones funcionales.

Esta construcción se conoce como el cograph (o collage) del profunctor $$U^*:{\bf Set}^{op}\times{\bf Grp}\to{\bf Set}\ (S,G)\mapsto \hom_{\bf Set}(S,UG)\,.$$

El adjunto izquierdo, $F$ de $U$ puede describirse alternativamente mediante reflexiones en la subcategoría ${\bf Grp}$ .