Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ sea una sucesión acotada de números reales o complejos y $\mathscr F\subset\mathscr P(\mathbb N)$ sea un ultrafiltro no principal. Entonces $a=\lim_{\mathscr F}a_n$ está bien definido y corresponde a un límite subsiguiente de $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ es decir, existe un conjunto infinito $$ A=\{i_1<i_2<\cdots<i_n<\cdots\}\subset\mathbb N, $$ tal que $a_{i_n}\to a$ .
Claramente, $\lim_{\mathscr G}a_n=a$ para cada ultrafiltro no principal que contenga $A$ .
Me preguntaba si lo contrario también es cierto. Por inversa me refiero a lo siguiente:
Si $a=\lim_{\mathscr G}a_n$ entonces $\mathscr G$ contiene el conjunto de índices de una subsecuencia de $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ convergiendo hacia $a$ es decir, existe un $A=\{i_n\}_{n\in\mathbb N}\in\mathscr G$ tal que $a_{i_n}\to a$ .
