Intentar demostrar que una función es integrable

Question

Sea $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if x }=\frac {1}n, n\in \mathbb{N} \\ 0 & \text{otherwise } \end{cases}$$ Necesito probar que $f$ es integrable en $[0,1]$ pero no consigo entender cómo eso es cierto. Si efectivamente es integrable, entonces sabemos que para todo $$ > 0, there exists $$ tal que para cualquier partición etiquetada $x_0, ..., x_n$ et $t_0, ..., t_n$ cuya malla es inferior a $$, we have: $$ ||suma_{i=0}^n f(t_i)\Delta X_i - I| < $$ But if we choose the $ t_i $ to be $ \frac {1}i $, then we get that we summation is $ 1 $ since we're over $ [0,1] $.Then I must be $ 1 $ so that the equation will be true. But if we choose any other order, it'll have to be $ 0$.

¿Qué me falta? Me encantaría recibir alguna orientación sobre cómo solucionarlo.

Answer 1

$\int_{0}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{0}f(x)dx=-\sum_{i=1}^{\infty}\int_{\frac {1}{i}}^{\frac {1}{i+1}}f(x)dx=-\sum_{i=1}^{\infty}0=0$

Answer 2

Voy a suponer que esto se sabe: Si $g=0$ en $[a,b]$ excepto en muchos puntos, entonces $\int_a^bg=0.$

Sea $\epsilon > 0.$ Elija $a, 0<a<\epsilon.$ Nuestra $f$ sólo tiene un número finito de puntos en $[a,1]$ donde $f$ es distinto de cero. De lo anterior se deduce que existe una partición $P$ de $[a,1]$ tal que $U(f,P) < \epsilon.$ De ello se deduce que

$$U(f,P\cup\{0\}) < a\cdot 1 + \epsilon < 2\epsilon.$$

Claramente $L(f,P\cup\{0\})=0.$ Esto demuestra $f$ es integrable de Riemann en $[0,1],$ et $\int_0^1 f = 0.$