Hallar la solución de la ecuación diferencial
$$y''+8y'+17y=f(t), \\ y(0)=0, \\y'(0)=0,$$ donde f(t) es la función periódica
$$f(t)=1 , 0<t<\pi \\ f(t)=0 , \pi<t<2\pi \\ f(t+2\pi)=f(t) $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Isham
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$$y''+8y'+17y=f(t), \\ y(0)=0, \\y'(0)=0,$$
Puede utilizar la transformada de Laplace $$\mathcal{L}\{y''+8y'+17y \}=\mathcal{L}\{f(t)\} $$ $$s^2Y(s)+8sY(s)+17Y(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} $$ $$Y(s)(s^2+8s+17)=\mathcal{L}\{f(t)\} $$ Para la transformada de Laplace en el lado derecho obtenemos: $$f_1(t)=1(u_t-u_{\pi})=u(t)-u(t-\pi)$$ $$\mathcal{L}\{f_1(t)\}=\frac 1 s -\dfrac {e^{-\pi s}}s$$ Desde el período de $f(t)$ es $2 \pi$ : $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\left (\frac 1 s -\dfrac {e^{-\pi s}}s\right) \dfrac 1 {1-e^{-2\pi s}}$$ $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\left (\dfrac {1-e^{-\pi s}}{s(1-e^{-2\pi s})}\right) $$
