Encontrar la suma de $\frac{1}{1!}+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+ \cdots$

Question

¿Cuál es el valor de la siguiente suma?

$$\frac{1}{1!}+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+ \cdots$$

Las posibles respuestas son:

A. $e$

B. $\frac{e}{2}$

C. $\frac{3e}{2}$

D. $1 + \frac{e}{2}$

Traté de ampliar las opciones de uso de la serie representación de $e$ y pone en $x=1$, pero no podía volver a la serie original. Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia...comenzar por escribir la serie de $xe^x$ y se diferencian dos veces

Answer 2

$$\frac{k(k+1)}{2k!}=\frac{k(k-1)+2k}{2k!}=\frac1{2(k-2)!}+\frac1{(k-1)!}$$

Por lo tanto la suma es

$$\frac e2+e.$$

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Tenga en cuenta que la primera suma en el lado derecho debe ser iniciado en $k=2$ (o el uso de $1/(-1)!:=0$).

Answer 3

Claramente el $r^{th}$ numerador es $1+2+3+...+r= \frac{r(r+1)}{2}$ .

Y el $r^{th}$ denominador es $r!$.

Por lo tanto $$\displaystyle U_r=\frac{\frac{r(r+1)}{2}}{r!}=\frac{r(r+1)}{2r!}$$

Dado que el grado del numerador es $2$ , el uso de fracciones parciales para encontrar $A,B,C$ tales que (Si el uso de fracciones parciales a a $(r-3)!$ , su coeficiente será igual a cero cuando la comparación de los coeficientes.)

$\displaystyle U_r=\frac{r(r+1)}{2r!}=\frac{A}{(r-2)!}+\frac{B}{(r-1)!}+\frac{C}{r!}$

$\displaystyle (2r!)\times U_r=(2r!)\times \frac{r(r+1)}{2r!}=(2r!)\times \frac{A}{(r-2)!}+(2r!)\times \frac{B}{(r-1)!}+(2r!)\times \frac{C}{r!}$

Por lo $\displaystyle r(r+1)=r!\times \frac{2A}{(r-2)!}+r!\times \frac{2B}{(r-1)!}+r!\times \frac{2C}{r!}$

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Ahora observar que

$r!=1\times 2\times 3\times .... \times (r-2)\times(r-1)\times r $

$\Rightarrow r!=(r−2)! ×(r−1)r $ y

$ \Rightarrow r!=(r−1)!×r $

...............................................................................

Por lo $\displaystyle r(r+1)=(r−2)! ×(r−1)r \times \frac{2A}{(r-2)!}+(r−1)!×r\times \frac{2B}{(r-1)!}+r!\times \frac{2C}{r!}$

Por lo $\displaystyle r^2+r = 2A(r-1)r+2Br+ 2C $

Claramente $C=0$ , $B=1$ y $A=\frac{1}{2}$

Por lo $\displaystyle U_r=\frac{r(r+1)}{2r!}=\frac{1}{2(r-2)!}+\frac{1}{(r-1)!}$

$\displaystyle \sum_{r=2}^{\infty}U_r= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+.....\right)+\left( \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.....\right)$

$\displaystyle \sum_{r=2}^{\infty}U_r= \frac{1}{2} \left( e\right)+\left( e-1\right)$

$\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty}U_r= U_1+\frac{1}{2} \left( e\right)+\left( e-1\right)=1+\frac{e}{2}+e-1 =\frac{3e}{2}$

Answer 4

Comenzando con $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$, la suma se simplifica a \begin{align*} z=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^\infty \frac{i(i+1)}{i!}&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^\infty \frac{i+1}{(i-1)!}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^\infty\frac{i+2}{i!}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{i}{i!}+\frac{2}{i!}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{(i-1)!}+\sum_{i=0}^\infty\frac{2}{i!}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}+2\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}\right)\\ &=\frac{1}{2}(e+2e)=\frac{3e}{2} \end{align*}

Answer 5

Su suma es $$\sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac {k} {n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac {n + 1} {2 (n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {n + 2} {2 n!} = \frac {3e} {2}.$$