Partículas en una caja: Energía inferior a la energía potencial

Question

Estoy leyendo mecánica cuántica de Principios de mecánica cuántica de Shankar. En la página 157 define el potencial de caja $V(x)$ como

$$ V(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 &\mbox{ if $|x|< L/2$} \\ \infty &\mbox{ otherwise .} \end{array} \right. $$

Empieza por región $III$ donde $V=\infty$ . Para esta región, considera $V=V_0>E$ al principio y escribe la ecuación de Schrodinger como $$ \frac{d^2\psi_{III}}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2} (E-V_0) \psi_{III} = 0.$$

Resolverlo para $\psi_{III}$ más adelante demuestra que $\psi_{III} = 0$ cuando $V=V_0 \to \infty$ .

Mi confusión es con la suposición: $V=V_0>E$ .

Pregunta: Cómo la energía potencial $V(x)$ de una partícula en la región $III$ puede ser mayor que su energía total $E$ ?

Todos sabemos que $E=k_E + V(x)$ ; $E$ = energía total, $k_E$ = energía cinética, $V(x)$ = energía potencial. Si la energía potencial es $V_0$ ¿no debería la energía total $E$ de la partícula sea mayor o igual que $V_0$ es decir, $E\geqslant V_0$ ?

Por favor, explíquelo.

Answer 1

Desde $k_E \propto \hat{p}^2$ y $\hat{p}$ es hermitiana se puede ver que esto hace que $k_E$ semidefinida positiva, es decir, todos sus valores propios son mayores o iguales que 0. En otras palabras, cuando se mide este operador siempre se obtienen resultados mayores o iguales que cero. Esta "contradicción" se resuelve por el hecho de que el potencial es una función de la coordenada y el momento (y por tanto la energía cinética) no conmuta con funciones de coordenada. Esto a su vez significa que no se pueden medir simultáneamente ambos $k_E$ , $E$ y potencial.

Answer 2

Todos sabemos que $E=k_E + V(x)$ ; $E$ = energía total, $k_E$ = energía cinética, $V(x)$ = potencial

Un motivo de confusión es que la ecuación $$ E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x) $$ proviene de la mecánica clásica. Cuando resolvemos la ecuación de Schroedinger $$ H\Phi = E\Phi $$ con el operador hamiltoniano $H$ el significado de los símbolos $E$ , $H$ no es necesariamente la misma que en la mecánica clásica anterior, incluso si llamamos a $E$ energía y $H$ Hamiltoniano.

Por supuesto, hay similitudes en la forma entre las ecuaciones de la mecánica clásica y las ecuaciones de Schroedinger, pero el significado de los símbolos (su uso) es diferente.

Interpretamos los símbolos utilizados en la resolución de la ecuación de Schroedinger con ayuda de la interpretación de Born de la función $\Phi$ da la densidad de probabilidad en el espacio de configuración. Con esta densidad de probabilidad, podemos calcular los valores medios esperados de las magnitudes físicas, pero no sus valores instantáneos; esto contrasta con la mecánica clásica, en la que tratamos directamente con valores, no con probabilidades.

Cuando encontramos valores propios $E$ y la correspondiente $\Phi$ podemos utilizarlos para hacer algunas afirmaciones probabilísticas sobre las magnitudes físicas del sistema considerado.

Por ejemplo, podemos calcular el momento eléctrico medio o la energía media:

$$ \langle \mu_x \rangle = \int \Phi^* qx \Phi\,dx, $$

$$ \langle Energy \rangle = \int \Phi^* H \Phi\,dx, $$

Cuando ponemos en $\Phi$ correspondiente al valor propio $E$ obtenemos la energía media

$$ \langle Energy \rangle = E. $$

Esto nos muestra una posible interpretación del valor propio $E$ : la energía media esperada del sistema apropiado cuando se describe mediante $\Phi$ . Podemos decir que la energía media es $E$ pero no hay por qué pensar que el valor instantáneo de la energía es $E$ o ese valor de energía unido a cada punto $x$ del espacio de configuración es $E$ . Entonces, no hay ningún problema con la relación

$$ Energy = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x), $$

porque el valor propio $E$ sólo da la energía media, no la energía correspondiente a algún punto $x$ del espacio de configuración.