Un problema de geometría del concurso de matemáticas

Question

Tengo un problema para entender la prueba.

Dado un ángulo agudo $A$ . Elija un punto arbitrario $P$ de la bisectriz de $A$ y otro punto $B$ desde el lado del ángulo $A$ . Trazar una línea $l$ pasando por puntos $P$ y $B$ . Ahora $l$ interseca otro lado del ángulo $A$ en el punto $C$ . Demostrar que no importa cómo elijamos $B$ y mantener $P$ fija, la expresión $\frac{1}{\mid AB\mid}+\frac{1}{\mid AC\mid}$ es constante.

Prueba.

Sea $\angle A=2\theta$ , $\angle ACB = \phi$ y $PD$ es perpendicular a $AC$ . Porque $AP$ biseca $\angle A$ tenemos ${AC\over AB}={PC\over PB}$ . Así:

${1\over AB}+{1\over AC}={1\over AB}+{PB\over AB\cdot PC}={BC\over AB}\cdot{1\over PC}={\sin 2\theta\over {PC\cdot\sin\phi}}={\sin 2\theta\over PD}={\sin 2\theta\over {PA\cdot\sin \theta}}={2\cos\theta\over PA}={\rm constant,}$

porque ambos $\theta$ y $PA$ se dan.

¿Por qué tenemos que ${1\over AB}+{PB\over AB\cdot PC}={BC\over AB}\cdot{1\over PC}$ y ¿es correcta esa prueba?

Answer 1

En virtud del teorema de la bisectriz del ángulo, $$\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC},$$ entonces: $$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}+\frac{PB}{AB\cdot PC}=\frac{1}{AB}\left(1+\frac{PB}{PC}\right)=\frac{1}{AB}\cdot\frac{BC}{PC}.$$

Es interesante observar que, si tomamos $B'$ como simétrico de $B$ en relación con $AP$ , $C'$ como simétrico de $C$ en relación con $AP$ las diagonales del trapecio isósceles $BB'CC'$ reunirse en $P$ . Si tomamos la perpendicular a $AP$ a través de $P$ la longitud del segmento cortado por el ángulo es igual a la media armónica de $BB'$ y $CC'$ por lo que el resultado es el siguiente.

Otra forma es considerar el ángulo como un sistema de referencia oblicuo y el punto $P$ como $(1,1)$ . En esta configuración, todas las líneas $P$ tienen ecuación $ax+by=a+b$ por lo que se cruzan con el eje de coordenadas en $y_0=\frac{a+b}{b}$ y $x_0=\frac{a+b}{a}$ esto da $\frac{1}{x_0}+\frac{1}{y_0}=1$ QED.

Answer 2

Área APB + Área APC = Área ABC $$\frac{1}{2}PB\sin(θ)+\frac{1}{2}PC\sin(θ) = \frac{1}{2}BC\sin(2θ)$$ $$\sin(2θ)= 2\sin(θ)cos(θ) \\ \Rightarrow PB+PC= 2BC\cos(θ)$$ (dividir por $BCP$ ) $$\Rightarrow \frac{1}{C}+\frac{1}{B} =2\frac{\cos(θ)}{P}$$