Delimitación de una suma fraccionaria de Mobius

Question

¿Cómo se muestra la siguiente estimación?

$\displaystyle \bigg\lvert 1+\sum_{n \leq x} \mu(n) \Big\{\frac{x}{n}\Big\} \bigg\rvert \leq x$ donde $x\geq1$ ?

Mi intento fue utilizar la desigualdad del triángulo para que

$\displaystyle \bigg\lvert 1+\sum_{n \leq x} \mu(n) \Big\{\frac{x}{n}\Big\} \bigg\rvert \leq 1 + \sum_{n \leq x} \Big\{\frac{x}{n}\Big\} = 1 + \{x\} + \sum_{2\leq n \leq x-1} \Big\{\frac{x}{n}\Big\}$ ,

e intentar acotar la suma reindexada mediante $[x]-1$ (aquí, $[x]$ denota el suelo de x), lo que dará entonces $1+\{x\}+[x]-1=\{x\}+[x]=x$ . Dividiendo por x se obtendría el resultado deseado, pero me cuesta encontrar por qué este límite tiene sentido. ¿Me estoy perdiendo algo obvio? ¿Quizás hay una manera más fácil de derivar esto? También sospecho que no es necesario juguetear con la desigualdad del triángulo, y que se podría demostrar directamente sin mucho esfuerzo, pero no lo veo. Agradecería cualquier explicación.

Answer 1

En primer lugar, quiero señalar que $$\sum_{n\leq x}\left\{\frac nx\right\}\neq\{x\}+\sum_{2\leq n\leq x-1}\left\{\frac nx\right\}.$$ El problema es que $x$ no tiene por qué ser un número entero (en particular, puede que no tenga un caso $n=x$ Así que $x-1$ puede omitir un número entero). Ahora bien, la parte fraccionaria de un número siempre está acotada arriba por $1$ por lo que de hecho tiene $$\sum_{2\leq n\leq x}\left\{\frac xn\right\}\leq\sum_{2\leq n\leq x}1=\lfloor x\rfloor-1.$$ Combinando los pasos como lo has hecho, terminas con $$\left|1+\sum_{n\leq x}\mu(n)\left\{\frac xn\right\}\right|\leq 1+\{x\}+\lfloor x\rfloor-1=x.$$