Invariantes de curvatura en relatividad general y singularidades

Question

Supongamos que quiero comprobar si una métrica dada es singular o no. Me interesan las singularidades de curvatura, no las de coordenadas, así que puedo recurrir a escalares hechos con Ricci, Riemann y el tensor de Weyl.

Si encuentro que uno de estos escalares es divergente en alguna parte, entonces he terminado. Mi problema es el contrario, supongamos que no encuentro singularidades después de comprobar algunos invariantes. ¿Cómo puedo estar seguro de que el espacio no es singular? Reformulado: ¿Existe una base COMPLETA de invariantes de curvatura escalar en relatividad general? Digamos que en $D=4$ para concretar. En particular, el caso del vacío.

He oído en alguna parte que en el vacío y en $D=4$ es suficiente para restringir a: $R$ , $R_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma} $ , $R_{\mu \nu } R^{\mu \nu } $ , ${{}^\star R}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma} $ , $ {{}^\star R}^{\star}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma} $ . ¿Es cierto?

Las referencias son bienvenidas.

EDIT: Para ser más precisos, refiriéndome sólo a singularidades de curvatura (sé que hay otra forma de caracterizar una singularidad como trabajar explícitamente con geodésicas) ¿hay un número mínimo de invariantes a comprobar, para concluir que la métrica está libre de divergencias de curvatura?

Answer 1

Para ser más precisos, refiriéndome sólo a las singularidades de curvatura (sé que hay otra forma de caracterizar una singularidad como trabajar explícitamente con geodésicas) ¿hay un número mínimo de invariantes que comprobar para concluir que la métrica está libre de divergencias de curvatura?

No. Existe una amplia clase de espaciostiempos, llamados espacios invariantes escalares evanescentes (VSI), para los que cada invariante escalar desaparece. En particular, una onda plana gravitatoria es VSI. (Esto se deduce del hecho de que la onda puede experimentar desplazamientos Doppler, pero un escalar tiene que permanecer igual bajo un impulso). Se pueden tener ondas gravitatorias que sean singulares en el sentido de incompletitud geodésica (como los "rayos" de Penrose-Hawking), por lo que ninguna investigación de cualquier número de escalares de curvatura bastará para demostrar que no hay singularidad.

Answer 2

DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Nunca he visto explícitamente la siguiente conclusión, pero me parece una consecuencia directa de la teoría establecida. No puedo encontrar ningún error en mi pensamiento, por lo que la publicaré y esperaré su juicio.

El teorema de equivalencia, demostrado, por ejemplo, en la obra de Cartan Lecciones sobre la geometría de los espacios de Riemann establece que en un marco rígido un número finito de las derivadas covariantes del tensor de Riemann es suficiente para clasificar completamente la geometría local de una variedad semiriemanniana. Este teorema es la base de la Algoritmo Cartan-Karlhede y puede encontrarse una declaración más formal en inglés en el documento de Karlhede aquí (aunque nótese que hace referencia a su propio informe original del USIP, que no puedo encontrar en ningún sitio en línea; quizá es que no sé dónde buscar). El número máximo de derivadas covariantes necesarias en cuatro dimensiones es siete, pero muchas soluciones requieren menos, y los componentes de cualquier derivada covariante superior dependen funcionalmente de los componentes anteriores.

Consideremos, pues, un marco rígido. Si los cuadrados de todas las derivadas covariantes necesarias son finitos, por ejemplo $$ |R_{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}R^{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}| < \infty, $$ entonces las derivadas covariantes son finitas, así que por dependencia funcional todas las derivadas covariantes son finitas. Además, en un marco rígido, todas las contracciones del tensor de Riemann son finitas si todas las componentes lo son, al igual que todos los duales. Por lo tanto me parece que un número finito de derivadas covariantes del tensor de Riemann es suficiente en un marco rígido .

Ahora, en un marco rígido dado (bien definido), es decir, tal que los vectores marco $e_i$ son finitas y suaves, las derivadas covariantes son finitas siempre que las componentes $R_{ijk\ell}$ y los coeficientes de rotación de Ricci $\gamma^i{}_{jk}$ también son todas finitas y suaves ( $C^\infty$ ). Esto concuerda bien con la teoría establecida en marco fijo, véase por ejemplo este documento .

En conclusión bajo restricción a un marco rígido bien definido es suficiente demostrar que los componentes del tensor de Riemann y los coeficientes de rotación de Ricci son todos finitos y suaves.

En un marco no rígido no creo que se pueda hacer una afirmación similar, ya que hay casos (por ejemplo, soluciones de ondas gravitacionales) en los que se necesita un número infinito de derivadas covariantes para dar una descripción local completa de la geometría.