Calcule la siguiente integral de Lebesgue

Question

Llevo tiempo dándole vueltas a esta pregunta:

Sea $f(x) \in L^1(\mathbb{R})$ . Calcule $$ \lim_{h\to \infty} \int_{\mathbb{R}} |f(x+h)-f(x)|dx. $$

He conseguido convencerme de que la solución es $2 \int_{\mathbb{R}} |f|$ . Sin embargo, me alude de cómo hacer de este un rápido y fácil. De alguna manera puedo hacer que este problema comience con tomar una función continua con soporte compacto y aproximar la integral con esta. ¿Alguien tiene una manera más hábil de pensar en este problema?

Answer 1

Supongamos en primer lugar que $f$ tiene apoyo en algunos $[-a,a].$ Entonces para $h> 2a,$

$$|f(x+h)-f(x)| = |f(x+h)|+ |f(x)|,$$ simplemente porque estas funciones tienen soportes disjuntos. De ello se deduce que

$$(1)\int|f(x+h)-f(x)| = 2\int|f|$$

para $h>2a.$

Ahora dejemos que $\epsilon > 0.$ Entonces, por la DCT, podemos elegir $a>0$ tal que $\int|f-f\chi_{[-a,a]}|< \epsilon.$ Establecer $g = f\chi_{[-a,a]}.$ Entonces

$$\int|f(x+h)-f(x)| \le \int|f(x+h)-g(x+h)| +\int|g(x+h)-g(x)| + \int|g(x)-f(x)|$$ $$ < \int|g(x+h)-g(x)| + 2\epsilon.$$

Por lo tanto

$$\int|f(x+h)-f(x)| - 2\int|f| \le \int|g(x+h)-g(x)| - 2\int|g|+2\epsilon .$$

Aplicar ahora $(1)$ a $g$ para obtener

$$\limsup_{h\to \infty} \left( \int|f(x+h)-f(x)| - 2\int|f| \right) \le 2\epsilon.$$

Desde $\epsilon$ es arbitraria, el $\limsup$ arriba es $0.$ Un argumento similar muestra la $\liminf $ es $\ge -3\epsilon$ más o menos. Así $\int|f(x+h)-f(x)| \to 2\int|f|$ como desee.