¿Hay más estados enredados o no enredados?

Question

Estoy tratando de entender el enredo en términos de escasez y abundancia .

Dado un vector arbitrario $v$ que representa un estado cuántico puro de, digamos, dimensión 4, es decir $v \in \mathcal{H}^{\otimes 4}$ ,

Es $v$ más probablemente estar entrelazados que no entrelazados (separables)?

Tratando de responder por mí mismo , puedo ver que la prueba de separabilidad se basa en una cuantificador existencial es decir, intentar demostrar que $\exists v_1, v_2 \in \mathcal{H}^{\otimes 2} $ tal que $v_1 \otimes v_2 = v $ .

Por otro lado, la prueba de entrelazamiento se basa en una cuantificador universal , $$\forall v_1, v_2 \in \mathcal{H}^{\otimes 2}, v_1 \otimes v_2 \neq v.$$ Así pues, este razonamiento podría sugerir que los vectores enredados son mucho más escasos que los separables porque es más fácil encontrar un ejemplo simple (existencial) que satisfaga la condición que comprobar cada uno de ellos (universal).

Este resultado tendría sentido desde el punto de vista físico, ya que el enredo es un recurso valioso, por lo que, intuitivamente, debería ser escaso.

¿Tiene algún sentido este razonamiento o estoy diciendo tonterías? Cualquier ayuda será muy apreciada.

PD: Supongo que extender este razonamiento a las matrices (de densidad) sería obvio.

Answer 1

Estoy asumiendo que tienes un espacio de Hilbert base finito-dimensional $\mathcal H_0$ y que estás construyendo tu espacio de Hilbert completo como $\mathcal H=\mathcal H_0\otimes \mathcal H_0$ . En estas condiciones, el conjunto de estados separables tiene medida cero .

(La cosa se complica un poco si tiene $\mathcal H_0^{\otimes 4}$ y se te permite dividirlo como quieras entre esos dos factores, y la respuesta es negativa si se te permite buscar cualquier estructura tensor-producto en su espacio, ya que siempre puede tomar un factor a lo largo de su dado $|\psi⟩$ .)

Consideremos, pues, una base dada $\{|n⟩:n=1,\ldots,N\}$ para $\mathcal H_0$ lo que significa que cualquier estado arbitrario $|\psi⟩\in\mathcal H$ puede escribirse como $$ |\psi⟩=\sum_{n,m} \psi_{nm}|n⟩\otimes|m⟩. $$ Si, en particular, $|\psi⟩$ puede escribirse como un producto tensorial $|\psi⟩=|u⟩\otimes|v⟩$ entonces tienes $$ |\psi⟩ =\left(\sum_n u_n |n⟩\right)\left(\sum_m v_m |m⟩\right) =\sum_{n,m} u_nv_m |n⟩\otimes|m⟩; $$ es decir, la matriz de coeficientes $\psi_{nm}$ tiene la forma $\psi_{nm}=u_n v_m$ . Esto significa que esta matriz tiene rango uno, lo que significa que debe tener determinante igual a cero. Como el determinante es una función polinómica continua $\det\colon \mathbb{C}^{N\times N}\to\mathbb C$ su conjunto cero tiene medida de Borel cero dentro de $\mathbb{C}^{N\times N}$ y, por tanto, dentro de $\mathcal H$ .

Esto significa, finalmente, que si se elige un vector aleatorio $|\psi⟩\in\mathcal H$ utilizando una medida de probabilidad que es absolutamente continua con respecto a la medida canónica de Borel sobre $\mathcal H\cong\mathbb C^{N\times N}$ entonces es casi seguro que está enredado. Como ventaja añadida a partir del mismo argumento, dicho vector tendrá (casi con toda seguridad) un valor de Rango de Schmidt .

Un poco más intuitivamente, lo que este argumento está diciendo es que los estados separables forman una variedad muy delgada dentro del espacio de Hilbert completo, y esto lo capta bastante bien el espíritu de la respuesta de zeldredge. En concreto, para describir un estado separable arbitrario, se necesita $2N-1$ parámetros complejos ( $N$ cada uno para los componentes de $|u⟩$ y $|v⟩$ menos una normalización compartida), por lo que, a grandes rasgos, los estados separables formarán un submanifold de dimensión $2N-1$ . Sin embargo, esto está incrustado dentro de un colector mucho más grande $\mathcal H$ de dimensión $N^2$ que requiere muchos más componentes para su descripción, por lo que para $N$ mayores que dos, los estados separables son una porción muy delgada.

Answer 2

No, de hecho, "la mayoría de los estados" están entrelazados. (Esto pretende ser una heurística; admito libremente que esto es probablemente una cosa pegajosa para entrar formalmente en cuanto a elegir al azar un estado). Mi intuición/razón para decir esto es que existen métodos de aproximación que funcionan restringiéndose a un subespacio de bajo entrelazamiento, como los estados de producto matricial (MPS) o los estados de par entrelazado proyectado (PEPS), que pueden utilizarse para representar eficientemente los estados básicos y la dinámica de ciertos hamiltonianos.

He aquí otro ejemplo más concreto. Supongamos que tenemos una cadena de qubits. Todos los estados del producto pueden especificarse almacenando dos números por qubit (los ángulos de Bloch o los $\left| 0 \right\rangle$ y $\left| 1 \right\rangle$ amplitudes). Por lo tanto, para $n$ qubits, podemos almacenar $2n$ números que capturan cualquier estado del producto. Sin embargo, el espacio de Hilbert completo tiene $2^{n}$ lo que significa que un estado general (no de producto) requiere la especificación de $2^n$ diferentes números complejos. Obviamente hay infinitos números de cada uno ya que las amplitudes son continuas, pero creo que debe quedar claro que el último caso admite muchos más estados, especialmente si se discretiza el espacio.

La razón por la que el entrelazamiento es un recurso no es que los estados entrelazados sean raros, sino que queremos restringir el entrelazamiento para que se produzca únicamente entre unos pocos sistemas de interés, mientras que la mayoría de los estados se entrelazan rápidamente con su entorno.

Answer 3

El conjunto de estados enredados es abierto y denso en el espacio de todos los estados (para un sistema dado). En ese sentido, casi todos los estados están enredados.

Answer 4

Sé por esto hable de M Horodecki que los estados enredados son más abundantes que los estados separables. Véase también papel sobre cómo los estados separables forman un conjunto de medida cero en el espacio de estados puro.

En cuanto a tu argumento, creo que también puede verse así.

$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes|\psi_2\rangle$ puede considerarse una restricción a la estructura del Estado. Para un estado entrelazado no existe tal restricción en la estructura, por lo que cabría esperar más estados de este tipo que estados separables.

Un argumento más puede ser que la matriz de densidad reducida de una parte de un estado enredado es un estado mixto. Ahora bien, hay más estados mixtos que estados puros.

Sin embargo, aconsejaría cautela a la hora de confiar demasiado en tales argumentos.