¿Transformada de Laplace de una ecuación diferencial?

Question

$y + 2y + 2y = (t \pi) + a(t T)$ , $y(0) = y(0) = 0$

$a$ y $T$ son números positivos y $T > \pi$ . Necesito encontrar valores para $a$ y $T$ tal que $y(t) = 0$ para todos $t \ge T$ ?

Acabo de empezar a trabajar con transformadas de Laplace. Estoy teniendo dificultades para averiguar los valores de $a$ y $T$ . Agradecería cualquier orientación.

Answer 1

Porque $y(0)=y'(0)=0$ la LT de la EDO da como resultado

$$(s^2+2 s+2) Y(s) = e^{-\pi s} + a e^{-T s}$$

donde $Y$ es la LT de $y$ . Así pues, tenemos que

$$y(t) = \frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, \frac{e^{(t-\pi) s} + a e^{(t-T) s}}{s^2+2 s+2} $$

que, por el teorema del residuo, es

$$e^{-(t-\pi)} \sin{(t-\pi)} \theta(t-\pi) + a e^{-(t-T)} \sin{(t-T)} \theta(t-T)$$

donde $\theta$ es la función escalón de Heaviside. Así, para $t \ge T$ las funciones escalonadas son ambas iguales a uno. Así, para $t \ge T$ tenemos

$$y(t) = e^{-t} \left [ -e^{\pi} \sin{(t)} + a e^{T} \sin{(t-T)}\right ] $$

Para $y(t)=0$ en este dominio temporal, $T=k \pi$ donde $k \in \mathbb{Z}$ y $k \gt 1$ y $a=(-1)^k e^{-(k-1) \pi}$ .