Mostrando que el mapa que lleva $u_0$ a la solución $u(t)$ es autoadjunto

Question

Sea $u$ y $v$ sea la solución de la ecuación del calor $$w'(t) - \Delta w(t) =0$$ con datos iniciales $u_0$ y $v_0$ respectivamente, y con BC homogéneas de Dirichlet o de Neumann en un dominio acotado $\Omega$ .

Defina $S(t):L^1(\Omega) \to L^2(\Omega)$ por $S(t)u_0 = u(t)$ es la correspondencia entre los datos iniciales y la solución evaluada en el tiempo $t$ .

¿Cómo puedo demostrar que $S(t)$ es autoadjunto sin utilizar el núcleo de Green ? Se trata de demostrar que $$(u(t), v_0)_{L^2} = (v(t), u_0)_{L^2}$$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Para $0 \le s \le t$ la autounión de $\Delta$ da \begin{align} \frac{\partial}{\partial s}(u(t-s),v(s)) & =-(u'(t-s),v(s))+(u(t-s),v'(s)) \\ & =-(\Delta u(t-s),v(s))+(u(t-s),\Delta v(s)) =0. \end{align} Por lo tanto, $$ (u(t-s),v(s)|_{s=0} = (u(t-s),v(s))|_{s=t} \\ (u(t),v_0) =(u_0,v(t)). $$