Mi problema es el siguiente: Estoy evaluando el ajuste a una función $f(\mathbf{x},\theta)$ a través de MCMC (porque tengo algunos priors en los parámetros), y estoy tratando de evaluar el DIC, dado por:
$$\rm{DIC}=\bar{D}+p_D,\ \ \ \ (1)$$
donde, si definimos la desviación $D(\theta)=-2\log(\mathcal{L(\theta|\mathbf{x})})$ y $L(\theta|\mathbf{x})$ es mi probabilidad, entonces $$\bar{D} = E^{\theta}[D] = -2E^{\theta}[\log(\mathcal{L(\theta|\mathbf{x})})],\ \ \ \ (2)$$ donde $E^\theta[\cdot]$ representa el valor esperado sobre la distribución posterior, y el número efectivo de parámetros , $p_D$ viene dada por $$p_D = \bar{D}-D(\hat{\theta})\ \ \ \ (3)$$ donde $\hat{\theta}$ es la expectativa posterior de los parámetros. Esto es lo que he entendido hasta ahora del artículo de Spiegelhalter et al. (2002) .
El caso es que, sólo a efectos de prueba, estoy utilizando una probabilidad gaussiana simple de la forma: $$\mathcal{L}(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi \sigma^2)^{n/2}}\exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{\mathbf{x}_i-\mathbf{f}_i(\theta)}{2\sigma^2}\right),$$ y estoy recibiendo ENORME valores para $p_D$ . En $\sigma$ como parámetro y el hecho de que $\theta$ es de 12 dimensiones en mi aplicación particular, esperaría valores de $p_D$ cercano a 13, ¡pero obtengo valores del orden de 900! Lo que estoy haciendo para evaluar todo es lo siguiente:
- Después de adelgazar mi cadena MCMC, para cada eslabón, obtengo un valor de la probabilidad. Esto me da una muestra del valor de la verosimilitud en cada eslabón, y luego estimo $E^\theta[D]$ como: $$\hat{D} = \frac{1}{L}\sum_{i=1}^LD(\theta_i),$$ donde $L$ es el número de enlaces y $\theta_i$ es el valor de los parámetros (incluido $\sigma$ ) en ese enlace.
- Obtengo la media posterior de mis parámetros a partir de todos mis enlaces MCMC (suponiendo que estoy muestreando a partir de la posterior) para obtener $\hat{\theta}$ . Con estimaciones para esto y para $E^\theta[D]$ , sólo tengo que sustituir los valores de las ecs. (2) y (3) para obtener (1).
Con este procedimiento obtengo valores razonables para mi estimación de $E^\theta[D]$ pero $p_D$ simplemente no parece correcto. ¿Hay algo mal en mi procedimiento?
Gracias de antemano por la ayuda.
