Si ordenas los racionales enumerándolos $q_1,q_2,\dots$ y decir $q_i\leq_r q_j$ si $i\leq j,$ entonces el teorema del apretón no se aplicará a los racionales bajo este orden.
Encontrar un contraejemplo en este caso es un poco prolijo, así que me lo saltaré para el segundo ejemplo.
Otro ejemplo $\mathbb R^2$ con la métrica habitual, pero con la ordenación del diccionario, $(x,y)\leq_d (x',y')$ si $x<x'$ o si $x=x'$ y $y\leq y'.$
Entonces $f,g:\mathbb R^+\to\mathbb R^2$ definido como $g(x)=(0,x)$ y $f(x)=(0,-x)$ como $x\to 0$ convergen al mismo valor, pero podemos definir $h(x)=(-1,x)$ satisface $f(x)\leq h(x)\leq g(x).$ Aquí $f(x),g(x)\to (0,0)$ pero $h(x)\to(-1,0).$
De hecho, creo que podemos demostrar que no hay un orden total en $\mathbb R^2$ que funcionará para el teorema del apretón. Pero el orden parcial natural: $$(x,y)\leq (x',y')\iff x\leq x'\land y\leq y'$$ funcionará.
Un tercer ejemplo es el conjunto $\mathbb Q$ de números racionales, con el orden estándar, pero con la $p$ -métrico. Entonces $a_n=p^{2n}$ y $b_n=p^{2n+1}$ ambos convergen a $0,$ pero $c_n=a_n+1$ converge a $1$ y $d_n=a_n+p+(-1)^n$ no converge en absoluto.
Si tienes un espacio métrico $(X,d)$ y una ordenación parcial $\leq$ en $X,$ tal que para todo $x\leq y\leq z$ en $X,$ $$d(x,z)\geq \min(d(x,y),d(y,z))\tag 1$$ entonces se aplica el teorema del estrujamiento.
Esto significa esencialmente que estar entre dos elementos del orden parcial significa que el punto está más cerca de uno de los puntos finales que los puntos finales entre sí. En la mayoría de los casos, en realidad tenemos $\max$ verdadero en $(1)$ no sólo $\min.$
Esto se debe a que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ es lo mismo que decir $\lim_{x\to a} d(f(x),L)=0.$
En $f(x)\to L$ y $g(x)\to L,$ obtenemos $$\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\to0$$ y $$d(f(x),g(x))\leq d(f(x),L)+d(L,g(x))\to 0$$
Y si $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ puis $$\begin{align}d(h(x),L)&\leq d(h(x),f(x))+d(f(x),L)\\&\leq d(h(x),f(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\end{align}$$ y de forma similar: $$d(h(x),L)\leq d(h(x),g(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))$$ Así que $$\begin{align}d(h(x),L)&\leq\min (d(h(x),f(x)),d(h(x),g(x)))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\\ &\leq d(f(x),g(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\to 0 \end{align}$$
Puedes relajar aún más las restricciones. Si $F:\mathbb R^{\geq0}\to\mathbb R^{\geq0}$ se define de forma que $F(0)=0$ y $F$ es continua en $0,$ y:
$$ \min(d(x,y),d(y,z))\leq F(d(x,z))\tag{1'}$$ cuando $x\leq y\leq z,$ entonces obtenemos el teorema del apretón.
La razón fundamental por la que el teorema de squeeze funciona para los reales está relacionada con algo llamado topología de orden. Dado cualquier conjunto totalmente ordenado, $(Y,\leq)$ podemos definir una topología con base los intervalos abiertos $(y_1,y_2)=\{y\in Y:y_1<y<y_2\}.$ (Es un poco más complicado que eso cuando el orden tiene elementos máximos o mínimos).
Esencialmente, el teorema de squeeze trata de límites convergentes en la topología de orden, no en una topología métrica. Es cierto en todos los espacios totalmente ordenados bajo la topología de orden.
Los pedidos parciales a veces también tienen una topología relacionada, pero no siempre.
Para que el teorema de squeeze se aplique a un espacio métrico ordenado, querríamos que los intervalos abiertos en el orden fueran todos conjuntos abiertos en la topología métrica. Es decir, cada intervalo abierto $(x,y)$ es un subespacio abierto en la métrica.
También es posible que necesite que cada balón abierto en la métrica alrededor de $x$ contiene un intervalo abierto en el orden que contiene $x.$ Si es así, los intervalos abiertos se convierten en la base de la topología.
Puede que no sean condiciones necesarias, pero intuitivamente es la relación que necesitamos para deducir el teorema del estrujamiento.
Los dos primeros contraejemplos que di antes son ejemplos de orden total en los que la topología de orden es estrictamente mayor que la topología métrica.
En la tercera ( $p$ -ádica) ejemplo, la topología de orden es casi totalmente diferente de la topología métrica - intervalos abiertos en $\mathbb Q$ nunca son conjuntos abiertos en $p$ -y bolas abiertas alrededor de $x$ nunca contiene un intervalo abierto que contenga $x.$
