¿Cuándo falla el teorema del apretón?

Question

En el curso de análisis real de introducción, tenemos el teorema del apretón que dice: sean $f,g$ y $h$ funciones de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ y $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ tal que $\lim\limits_{x\to a} f(x)= \lim\limits_{x\to a} h(x)=L$, $L\in\Bbb R$, entonces $\lim\limits_{x\to a} g(x)=L.$ En este curso, consideramos $\Bbb R$ con la métrica usual, es decir, $(\Bbb R, d(x,y)=|x-y|)$.

La pregunta que me surge es si podemos encontrar un sistema en el que el teorema del apretón no sea correcto, es decir, que $f,g$ y $h$ sean funciones de $\mathbb X$ a $\mathbb Y$ y $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ tal que $\lim\limits_{x\to a} f(x)= \lim\limits_{x\to a} h(x)=L$, $L\in\Bbb Y$, pero $\lim\limits_{x\to a} g(x)\neq L,$ $X$ y $Y$ pueden ser cualquier conjunto, es decir, $X$ y $Y$ podrían no ser subconjuntos de $\Bbb R.$

Alguna idea

Answer 1

Si ordenas los racionales enumerándolos $q_1,q_2,\dots$ y dices $q_i\leq_r q_j$ si $i\leq j,$ entonces el teorema del squeeze no se aplica a los racionales bajo este orden.

Encontrar un contraejemplo en este caso es un poco extenso, así que lo omitiré para el segundo ejemplo.

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Otro ejemplo es $\mathbb R^2$ con la métrica habitual, pero con el orden lexicográfico, $(x,y)\leq_d (x',y')$ si $x o si $x=x'$ y $y\leq y'.$

Entonces $f,g:\mathbb R^+\to\mathbb R^2$ definidos como $g(x)=(0,x)$ y $f(x)=(0,-x)$ mientras $x\to 0$ convergen al mismo valor, pero podemos definir $h(x)=(-1,x)$ satisface que $f(x)\leq h(x)\leq g(x).$ Aquí $f(x),g(x)\to (0,0)$ pero $h(x)\to(-1,0).$

De hecho, creo que podemos mostrar que no hay un orden total en $\mathbb R^2$ que funcione con el teorema del squeeze. Pero el orden parcial natural: $$(x,y)\leq (x',y')\iff x\leq x'\land y\leq y'$$ funcionará.

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Un tercer ejemplo es el conjunto $\mathbb Q$ de números racionales, con el orden estándar, pero con la métrica $p$-ádica. Luego $a_n=p^{2n}$ y $b_n=p^{2n+1}$ ambos convergen a $0,$ pero $c_n=a_n+1$ converge a $1$ y $d_n=a_n+p+(-1)^n$ no converge en absoluto.

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Si tienes un espacio métrico $(X,d)$ y un orden parcial $\leq$ en $X,$ tal que para todo $x\leq y\leq z$ en $X,$ $$d(x,z)\geq \min(d(x,y),d(y,z))\tag 1$$ entonces aplica el teorema del squeeze.

Esto significa esencialmente que encontrarse entre dos elementos en el orden parcial significa que el punto está más cerca de uno de los extremos que los extremos están entre sí. En la mayoría de los casos, de hecho, tenemos que $\max$ es cierto en $(1)$, no solo el $\min.$

Esto se debe a que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ es lo mismo que decir que $\lim_{x\to a} d(f(x),L)=0.$

Cuando $f(x)\to L$ y $g(x)\to L,$ obtenemos $$\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\to0$$ y $$d(f(x),g(x))\leq d(f(x),L)+d(L,g(x))\to 0$$

Y si $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ entonces $$\begin{align}d(h(x),L)&\leq d(h(x),f(x))+d(f(x),L)\\&\leq d(h(x),f(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\end{align}$$ y de forma similar: $$d(h(x),L)\leq d(h(x),g(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))$$ Por lo tanto, $$\begin{align}d(h(x),L)&\leq\min (d(h(x),f(x)),d(h(x),g(x)))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\\ &\leq d(f(x),g(x))+\max(d(f(x),L),d(g(x),L))\to 0 \end{align}$$

Puedes relajar aún más las restricciones. Si $F:\mathbb R^{\geq0}\to\mathbb R^{\geq0}$ está definido de manera que $F(0)=0$ y $F$ es continua en $0,$ y:

$$ \min(d(x,y),d(y,z))\leq F(d(x,z))\tag{1'}$$ cuando $x\leq y\leq z,$ entonces obtenemos el teorema del squeeze.

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La razón fundamental por la que el teorema del squeeze funciona para los reales está relacionada con algo llamado topología del orden. Dado un conjunto totalmente ordenado, $(Y,\leq)$ podemos definir una topología con base en los intervalos abiertos $(y_1,y_2)=\{y\in Y:y_1 (Es un poco más complicado que eso cuando el orden tiene elementos máximos o mínimos.)

Esencialmente, el teorema del squeeze trata sobre límites convergentes en la topología del orden, no en una topología métrica. Es válido en todos los espacios totalmente ordenados bajo la topología del orden.

Los órdenes parciales a veces tienen una topología relacionada, pero no siempre.

Para que el teorema del squeeze se aplique a un espacio métrico ordenado, querríamos que los intervalos abiertos en el orden fueran todos conjuntos abiertos en la topología métrica. Es decir, cada intervalo abierto $(x,y)$ es un subconjunto abierto en la métrica.

También podrías necesitar que cada bola abierta en la métrica alrededor de $x$ contenga un intervalo abierto en el orden que contiene a $x.$ Si es así, entonces los intervalos abiertos se convierten en una base para la topología.

Estas podrían no ser condiciones necesarias, pero intuitivamente es la relación que necesitamos para deducir el teorema del squeeze.

Los dos primeros ejemplos que di arriba son ejemplos de órdenes totales donde la topología del orden es estrictamente mayor que la topología métrica.

En el tercer ejemplo ($p$-ádico), la topología del orden es casi completamente diferente de la topología métrica: los intervalos abiertos en $\mathbb Q$ nunca son conjuntos abiertos en la topología $p$-ádica, y las bolas abiertas alrededor de $x$ nunca contienen un intervalo abierto que contenga a $x.$