adimensionalizar el sistema de dos masas

Question

Consideremos el siguiente sistema de dos masas que ejecuta un movimiento rectilíneo: La primera masa, M1, está conectada a la pared izquierda por un muelle no lineal con ley de fuerza: $F_1(x) = kx x^3$ . Un muelle lineal, con ley de fuerza, $F_2(x) = kx$ conecta la gran segunda masa, M2 con la primera masa, inicialmente a la derecha de la primera masa. Supongamos que las condiciones iniciales son la primera masa se desplaza inicialmente una cantidad H sin velocidad inicial y la segunda masa no se desplaza y no se mueve inicialmente.

(a) Escriba las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden acopladas que gobiernan este sistema.

(b) Adimensionalizar el problema de forma que un pequeño parámetro $\epsilon =\frac{M_1}{M_2}$ emerge e identifica el segundo parámetro adimensional, sobre la no linealidad.

Mis pensamientos: (a) \begin{equation} \left\{\begin{split} F_1(H) -F_2(0-H) = M_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} \\ F_2(0-H) = M_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} \\ \end{split} \ \Fin. así que tengo \begin{equation} \left\{\begin{split} -2KH - H^3 = M_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} \\ -KH = M_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} \\ \end{split} \ \Fin.

con $x_1(0) = H$ , $x_2(0) = 0$ , $x_1'(0) = x_2'(0) = 0$ .

(b) dejar $x_1 = b \hat{x_1}$ , $x_2 = c \hat{x_2}$ , $t = d \hat{t}$

puis \begin{equation} \left\{\begin{split} -2KH - H^3 = M_1 \frac{b}{d^2} \frac{d^2 \hat{x_1}}{dt^2} \\ -KH = M_2 \frac{c}{d^2} \frac{d^2 \hat{x_2}}{dt^2} \\ \end{split} \ \Fin. que equivale a \begin{equation} \left\{\begin{split} -2 - \frac{H^2}{K} = M_1 \frac{b}{d^2KH} \frac{d^2 \hat{x_1}}{dt^2} \\ -1 = M_2 \frac{c}{d^2KH} \frac{d^2 \hat{x_2}}{dt^2} \\ \end{split} \ \Fin. con $\hat{x_1}(0) = \frac{H}{b}$ , $\hat{x_2}(0) = 0$ , $\hat{x_1}'(0) = \hat{x_2}'(0) = 0$

así que puse $\frac{H}{b} = 1$ , $M_1 \frac{b}{d^2KH} = 1$ y $M_2 \frac{c}{d^2KH} = 1$ por juego $b = H$ , $c = \frac{HM_1}{M_2}$ y $d = \sqrt{\frac{M_1}{K}}$ ,

entonces tengo el sistema : \begin{equation} \left\{\begin{split} -2 - \frac{H^2}{K} = \frac{d^2 \hat{x_1}}{dt^2} \\ -1 = \frac{d^2 \hat{x_2}}{dt^2} \\ \end{split} \ \Fin. con $\hat{x_1}(0) = 1$ , $\hat{x_2}(0) = 0$ , $\hat{x_1}'(0) = \hat{x_2}'(0) = 0$

pero no entiendo cómo involucrar $\epsilon = \frac{M_1}{M_2}$ en el sistema y cuál es el segundo parámetro adimensional de la no linealidad. ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

(a) La primera masa se encuentra a una distancia $x_1$ de su posición de equilibrio, y de forma similar, la segunda masa se encuentra a una distancia $x_2$ de su posición de equilibrio. De esta forma, el alargamiento del primer muelle con respecto al equilibrio es $x_1$ mientras que la elongación del segundo muelle es $x_2-x_1$ . La fuerza aplicada a la primera masa es $$ F_{\to 1} = F_1 - F_2 = -kx_1 - \alpha x_1^3 + k(x_2 - x_1) , $$ donde la segunda masa se encuentra a una distancia $x_2$ de su posición de equilibrio. Del mismo modo, $$ F_{\to 2} = F_2 = -k(x_2 - x_1) . $$ Así, las leyes de Newton dan \begin{aligned} M_1 \ddot x_1 &= -2kx_1 - \alpha x_1^3 + kx_2 ,\\ M_2 \ddot x_2 &= -k(x_2-x_1) , \end{aligned} véase ce poste para el caso lineal $\alpha=0$ . En equilibrio, encontramos los valores $x_2 = x_1 =0$ si $\alpha \geq 0$ que se asume implícitamente. Las condiciones iniciales son $$x_1(0) = H, \quad\dot x_1(0) = 0, \quad x_2(0)=0, \quad\dot x_2(0) = 0.$$ (b) Introducimos variables adimensionales y coordenadas $$ \bar x_i(\bar t) = x_i(t) /H ,\qquad \bar t = t \sqrt{k/M_2} $$ para que nuestro sistema se convierta \begin{aligned} \epsilon \bar x_1'' &= -2 \bar x_1 - \delta \bar x_1^3 + \bar x_2 ,\\ \bar x_2'' &= -(\bar x_2-\bar x_1) , \end{aligned} con $\epsilon = M_1/M_2$ y $\delta = \alpha H^2/k$ y $$\bar x_1(0) = 1, \quad \bar x_1'(0) = 0, \quad \bar x_2(0)=0, \quad \bar x_2'(0) = 0.$$