Teorema. Sea $q \in \mathbb{R}$ un número arbitrario. Si $q^n$ es irracional para todo $n>1$ entero, entonces $q$ es irracional.
Mis preguntas. ¿Cómo se llama esta afirmación y cuál es la prueba más corta? Gracias, señor.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
towo
Puntos
1330
Michael Tsang
Puntos
166
Su reclamación: $$\not\exists a\in \mathbb{N}, b\in \mathbb{N} : bq^n = a ~\forall n > 1$$
(o alternativamente)
$$\forall n > 1\not\exists a\in \mathbb{N}, b\in \mathbb{N} : bq^n = a$$
Una prueba:
Utilizando su afirmación como hipótesis, consideremos $q^2$ . Usted dice que $q^2$ es irracional. Por contradicción, si $q$ es entero o racional, entonces:
$$q = \frac{a_q}{b_q},$$
con $b_q \neq 0$ .
En este caso $q^2 = \frac{a_q^2}{b_q^2}$ debe ser entero o racional. De hecho, tanto el numerador como el denominador son enteros. Esto contradice su hipótesis y entonces $q$ también es irracional.
graydad
Puntos
11975
Esto se puede demostrar por contradicción rápidamente. FTSOC suponga que $q$ no es irracional. Entonces $q$ es racional. Cualquier producto finito de números racionales es racional, así que $q^{n}$ debe ser racional. Esto contradice la suposición de que $q^{n}$ es irracional para todo $n>1$ Así que $q$ tiene que ser irracional.
Los racionales $\,\Bbb Q\,$ son cerradas bajo multiplicación, por lo tanto, por inducción
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \forall i\!:\ q_i \in \Bbb Q\ \Rightarrow\ q_1\cdots q_n\in \Bbb Q$
${\rm Contrapositively}\qquad\ \ \ q_1\cdots q_n \not\in \Bbb Q\ \Rightarrow\ q_i\not\in\Bbb Q,\ \text{for some}\ i$
$\text{The constant case}\,\ q_i = q\ \ {\rm is}\ \ q^n \not\in \Bbb Q\ \Rightarrow\ q\not\in \Bbb Q,\ $ que da lugar a su reclamación.
Así que el resultado es una contrapositiva del cierre de $\,\Bbb Q\,$ bajo multiplicación. En general, no hay nombres muy utilizados para las formas contrapositivas de estas propiedades de cierre ubicuas. Ver aquí para muchos otros puntos de vista "complementarios" de las propiedades de cierre de las operaciones algebraicas.
