¿Se sabe algo sobre el conjunto de clases de concordancia (también llamadas clases de pseudoisotopía) de los difeomorfismos relativos a la frontera de $D^4$ ?
Respuesta
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Es el grupo trivial.
En primer lugar, por extensión de isotopía el homomorfismo de extensión por identidad al grupo de clases de pseudoisotopía de difeomorfismos conservadores de orientación de $S^4$ , $$\widetilde{\pi}_0(\mathrm{Diff}_\partial(D^4)) \to \widetilde{\pi}_0(\mathrm{Diff}^+(S^4)),$$ es suryectiva con núcleo generado por el giro de Dehn alrededor de la frontera. Pero el giro de Dehn es isotópico a la identidad para $D^4$ (es fácil producir una isotopía explícita), por lo que este homomorfismo es un isomorfismo.
Entonces para $S^4$ basta con invocar el teorema 1 de Clases de isotopía de Kreck de difeomorfismos de $(k-1)$ -conectado casi paralelizable $2k$ -manifolds que dice que para cualquier liso cerrado de 1 conexión $4$ -manifold $M$ el homomorfismo $$\widetilde{\pi}_0(\mathrm{Diff}(M)) \to \mathrm{Aut}(H_2(M;\mathbb{Z})),$$ inducida por la acción sobre la homología, es inyectiva.
