Hallar la matriz $A$ de $T$ con respecto a la base $\{1, x, x^2\}$ tanto en el dominio como en el codominio

Question

$T : V \to V$ se define por $T(p(x)) = p(0) + p(1)x$ .

¿Alguna pista?

Answer 1

La matriz que busca es $$A=\left[T(1)\ T(x)\ T(x^2)\right].$$

1. $T(1)=1+x$
2. $T(x)=0+x=x$
3. $T(x^2)=0+x=x$

Así que $$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

Un ejemplo es $p(x)=1+3x^2$ entonces $$T(p(x))=p(0)+p(1)x=1+4x.$$ Por otro lado, $$T(p(x))=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1+3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\\0\end{bmatrix}=1+4x.$$

Espero que entiendas toda la respuesta.