Probablemente no sea tan difícil pero no encuentro un ejemplo de dos no conjugados $p$ -subgrupos (del mismo orden) de $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ ( $n>1$ ).
Respuesta
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Sea $A_n$ sea la matriz compañera de la $n$ -enésimo polinomio ciclotómico. Entonces, si $p$ es un primo, las matrices diagonales en bloque $$\begin{pmatrix}A_p\\&A_p\\&&\ddots\\&&&A_p\end{pmatrix},$$ with $p$ copies of $A_p$ along the diagonal, and $$\begin{pmatrix}A_p\\&I\\&&\ddots\\&&&I\end{pmatrix},$$ con una $A_p$ a lo largo de la diagonal y el resto de los bloques $p\times p$ matrices de identidad, generan subgrupos de orden $p$ en $GL(p^2,\mathbb Z)$ que no son conjugados.
Puedes jugar a este tipo de juegos de varias maneras.
La clasificación de los módulos sobre un grupo cíclico de orden primo sobre los números enteros (que son finitamente generados y libres de torsión como grupos abelianos) fue elaborada por [F. E. Diederichsen, Über die Ausreduktion ganzzahliger Gruppendarstellungen bei arithmetischer Äquivalenz, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg vol. 14 (1938) pp. 357-412.]. y Reiner dio una exposición más sencilla en [Reiner, Irving. Integral representations of cyclic groups of prime order. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 142--146. MR0083493 (18,717a)] (que puede obtenerse de la amable gente del AMS ) La clasificación, más un poco más de trabajo (módulo el conocimiento del grupo de clase ideal de campos ciclotómicos...), proporciona una respuesta completa a tu pregunta en el caso de orden primo. A continuación, Reiner clasificó las representaciones integrales de grupos de orden $p^2$ Esto es más complicado, ya que hay infinitos indecomponibles.
