Grado de división del campo de $x^5-1$ en $\mathbb{Q}$ y el orden de su grupo de Galois?

Question

Si entiendo el resultado aquí correctamente, el orden del grupo de Galois es igual al grado de la extensión. Dicho esto, estoy bastante seguro de que el campo de división $E$ de $x^5-1$ en $\mathbb{Q}$ es $$E=\{a_0+a_1\omega+a_2\omega^2+a_3\omega^3+a_4\omega^4\}$$ donde $\omega$ es una raíz compleja de la unidad. $E$ como $\mathbb{Q}$ -tiene dimensión 5.

Sin embargo, si entiendo este correctamente, el grupo de Galois para este polinomio es $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}^*$ que tiene orden 4.

¿Qué es lo que me falta? ¿Estoy malinterpretando o calculando mal la dimensión de $E$ como $\mathbb{Q}$ -¿o estoy malinterpretando el post y el grupo de Galois no es en realidad el mencionado grupo de unidades?

Answer 1

El polinomio es reducible: $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ . No es necesario añadir el elemento $1$ al campo (ya está ahí), sólo una raíz del polinomio cuaternario (que genera el resto de raíces). Por eso el grado es $4$ .

Answer 2

Mientras su $E$ es el espacio correcto, el conjunto $\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\}$ no es una base para él, porque ese conjunto no es linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$ . Tenemos la relación de dependencia $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4$ (y nada más), así que cualquiera de los cuatro basta como base. Como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ , $E$ tiene dimensión $4$ - por lo que no es una sorpresa cuando el grupo de Galois tiene orden $4$ .

Answer 3

El orden de la extensión de Galois no es necesariamente igual al grado de la extensión, sino que es menor que el grado de la extensión. Un ejemplo es |Aut (Q(2^{1/3})/Q)| =1 pero [ Q(2^{1/3}) : Q ] es 3 y la igualdad se mantiene cuando la extensión es un campo de división de un polinomio separable.