Composiciones con primera parte 1

Question

¿Cuántas composiciones de n tiene la primera parte 1?

He estado tratando de averiguar esto, si el número de composiciones en n es 2^(n-1) entonces ¿el número de composiciones de n con la primera parte 1 sería 2^(n-2)?

Answer 1

Si fija la primera parte de su composición de $n$ entonces las partes restantes dan una composición de $n-1$ . Por lo tanto, la fórmula que das es básicamente correcta, aunque deberías tener alguna duda sobre su validez para $n\leq1$ . De hecho, el número de composiciones de $n$ es igual a $2^{n-1}$ sólo si $n>0$ (y el número $0$ tiene una composición, vacía), por lo que el número de composiciones de $n$ con la primera parte $1$ es $2^{n-2}$ sólo si $n>1$ . La fórmula completa es $$ \#\{\text{compositions of $ n $ with first part }1\} = \begin{cases} 0 & \text{if }n=0\\ 1 & \text{if }n=1\\ 2^{n-2} & \text{if }n>1 \end{cases} $$