Ecuación de estado de una goma elástica

Question

Tengo la siguiente pregunta que adjunto en formato png.

He hecho la parte (a), pero tengo dificultades en la parte (b) cuando procedo según el libro. Tengo una tensión no nula en la longitud de equilibrio. Llegué a esa conclusión tomando la derivada de la entropía con respecto a L y n al mismo tiempo. ¿Cuál es el principio físico subyacente?

Answer 1

Este principio es uno de los cuatro postulados fundamentales de la Termodinámica Macroscópica. Los enunciaré todos para su beneficio y el mío. Estos postulados son el punto de partida del razonamiento en termodinámica y se puede deducir todo lo demás si se parte de aquí.

Postulado 1: * Un sistema en equilibrio puede describirse completamente mediante tres variables, que llamamos su estado $\chi = \chi(U,V,\sum N_i)$ . *

Las propiedades de un sistema son la cantidad de energía que tiene ( $U$ ), el espacio que ocupa ( $V$ ), de cuántas partículas está compuesto ( $N_1, N_2, \ldots, N_r$ )

Postulado 2: En ausencia de restricciones internas (es decir, equilibrio), existe una función de dichas variables cuyos valores asumidos por dichas variables, son los que maximizan la función sobre la variedad de los estados restringidos.

Esta función se llama, por cierto, entropía. Es necesario imponer ciertas restricciones matemáticas a esta función para poder manejarla adecuadamente. Debe ser una función de la energía diferenciable, continua y monotónicamente creciente.

Postulado 3: La entropía de dos subsistemas combinados para formar un sistema mayor es la suma de los dos subsistemas.

Postulado 4: La entropía de un sistema se desvanece en un estado para el cual para un valor fijo $V$ y $\sum N_i$ y su cambio en energía por cambio en entropía es cero.

Matemáticamente, esto es $$(\frac{\partial U}{\partial S})_{V,\sum N_i} = 0 \Rightarrow S=0 $$

Tu pregunta puede responderse por el hecho de que la entropía se maximiza en el equilibrio y que su derivada debe ser cero.

Edición 1

La respuesta a la segunda parte de la pregunta es la siguiente:

De la primera ley: tenemos $$dU = TdS + f dL$$ donde $f $ es la tensión de la goma elástica. El segundo término tiene sentido y es análogo a $W = PdV$ . Es el trabajo, la fuerza multiplicada por el desplazamiento, realizado sobre el sistema al estirarlo de forma cuasistática una cantidad $dL$ .

De esto, obtenemos la relación para la tensión como: $$f = \frac{dU}{dL} - T\frac{dS}{dL} $$

Utilizando el hecho de que $\frac{dU}{dl} = 0$ se puede encontrar la tensión como $$f = - T\frac{dS}{dL} $$

Tengo dos preguntas para ti, para que pienses un poco más en el problema.

1. ¿Por qué $\frac{dU}{dL} = 0$ (Pista: postulado 4)

2. ¿por qué la tensión es igual al negativo del cambio de entropía por unidad de longitud? (Pista: Segunda ley de la Termodinámica)